Hogyan oldhato meg az alabbi matek feladat (8. osztaly)?

gyök(1+3+5+...2011+2013)=gyök(1007*(1+2013)/2)=gyök(1014049)=1007

1+3+5+7+...+1007=504*(1+1007)/2=254016

-KA-

Ez lemaradt:

gyök(254016)=504.

-KA-

Bizonyított tétel, hogy 1-től az n-dik páratlan számig a páratlan számok összege n^2; teljes indukcióval bizonyítsuk:

Vegyünk egy egységnégyzetet, ekkor az első 1 páratlan szám összege páratlan. Ha ehhez a négyzethez hozzárakunk 3 négyzetet úgy, hogy kettőt a két szomszédos oldalához, a harmadikat a kettő szomszédságába rakjuk, akkor egy 2 oldalhosszú négyzethez jutunk, tehát egy négyzetszámhoz, mivel ez a négyzet így 4 egységkockát tartalmaz. Ha ezzel a négyzettel ugyanazt megcsináljuk, tehát 5 négyzetet rakunk hozzá, akkor 9 egységnégyzetet tartalmazó négyzethez jutunk (ez eddig 1+3+5=9, ami négyzetszám).

Tegyük fel, hogy ezt az n. páratlan számig tudjuk, ekkor egy n*n oldalú négyzetünk van. A sejtés szerint most 2n+1 egységnégyzetet kellene az n*n-es négyzethez pakolnunk, hogy négyzetszámot kapjunk. Akkor lássuk, meg tudjuk-e csinálni: az egyik oldalához n egységnégyzetet tudunk rakni, a másikhoz is, és még a "sarokra" is kell raknunk egyet, hogy négyzetet kapjunk. Így összesen n^2+2n+1 négyzetünk van, ami (n+1)^2-nel egyenlő, tehát ez is biztosan négyzetszám.

Tehát az első n páratlan szám összege n^2.

Másik bizonyítás: tudjuk, hogy a páratlan számok számtani sorozatot alkotnak, ahol a1=1, an=1+2(n-1)=2n-1, d=2 (gondolom már tanultátok a számtani sorozatot), az összegképlettel: Sn=(1+2n-1)/2*n=n*n=n^2.

Tehát a feladat ennyiben módosul: S=1+3+5+7+...+2013. Ez pont az a sorozat, amiről az előbb megállapítottuk, hogy az összege az n-dik tagig n^2, kérdés, hogy ez a sorozat hány tagból áll. Tudjuk, hogy an=a1+(n-1)*d, innen 2013=1+(n-1)*2, innen 1006=n-1, tehát n=1007, vagyis ez az összeg 1007^2=1014049.

Remélem sikerült segítenem :)

# 3/5 -nek

Szerinted egy 8. osztályos tudja mi az a teljes indukció?

-KA-