Kombinatorika - Dobókockás - Hány ilyen szám van?

Jó úgy is, ahogy csináltad, de próbáljuk meg máshogy.

A legkisebb 111, a legnagyobb 666. Minden szám egyszer fordulhat elő, de nem lesz minden szám, pl. a 117 nincs.

Ha lenne mindegyik, akkor 111-től 666-ig van 666-111+1 = 556 szám, annak a harmada osztható 3-mal, ami 186 szám. Felfelé kellett kerekíteni, mert a 111 is meg a 666 is osztható 3-mal.

Számoljuk össze a kieső 3-mal oszthatókat:

117, 118, 119, 120: ebben 2 van

127 ... 130: ebben 1 van

137 ... 140: 1

147 ... 150: 2

157 ... 160: 1

167-től 210-ig kiesik mind, az 44 szám, amiből 44/3 = 14 hárommal osztható van (lefelé kellett kerekíteni).

Hát, ezt így kellene csinálni tovább, de nem egyszerűbb, mint ahogy te csináltad, sőt, bonyolultabb, úgyhogy azt érdemes csinálni.

Azért kicsit pontosítok a tiéden: A második sorban 112 helyett 114 van, de a többi mind jó, persze a végeredmény is.

Még úgy is lehet, hogy a számjegyek összegével operálunk.

A 3-mal oszthatóság egyenértékű a szj-ek összegének 3-mal oszthatóságával.

Így az összeg lehetséges értékei: 3; 6; 9; 12; 15; 18

Ezeket az eseteket egyenként vizsgálhatjuk, de sok szimmetria lesz a vizsgálat során.

Az eseteket ún. lexikografikusan részletezzük, majd azok sorrendjét analóg módon számolhatjuk meg:

3 az összeg: egy eset: csakis 111 lehet;

18 az összeg: szintén egy eset: 666

6 az összeg: 1+1+4; 1+2+3; 2+2+2

ezek sorrendjei rendre: 3; 6; 1

15 az összeg: 6+6+3; 6+5+4; 5+5+5

sorrendek: 3; 6; 1

9 az összeg: 1+2+6; 1+3+5; 1+4+4; 2+2+5; 2+3+4; 3+3+3

sorrendek: 6; 6; 3; 3; 6; 1

12 összegnél ugyanannyi, mint a 9 összeg esetén;

Így valóban 72 eset van.

Ez sem egyszerűbb, de sztem annyi előnye van, hogy a lexikografikus "gereblyézés" miatt kevésbé lehet kihagyni egyes eseteket.

Még egyszerūbben:

Ha az elsõ két számjegyet már tudjuk, akkor a harmadik 1-6 lehet, vagyis hat egymás után következõ szám, amibõl természetesen minden harmadik, vagyis kettõ osztható hárommal. Az összes eset harmada pedig 6x6x2=72