40! -nak hány pozitív egész osztója van?

Tényleg negyven faktoriálisnak??

102435840 (ez nem vicc- ezt írta ki a GeoGebra)

Az osztók számához a prímtényezős felbontásra van szükség. Ehhez végigmegyünk a 40-nél kisebb prímeken, és kiszámoljuk, hogy melyik hanyadik hatványon lesz.

2-vel 40/2=20 szám osztható. De ezek közül 40/4=10 4-gyel is osztható, 5 db 8-cal is, 2 db 16-tal is, és 1 db 32-vel is.

Tehát a 2 kitevője:

20+10+5+2+1=38.

3-mal [40/3]=13, 9-cel [40/9]=4, 27-tel egy szám osztható. Így a 3 kitevője

13+4+1=18.

5-tel 8, 25-tel egy szám osztható, így az 5 kitevője

8+1=9.

Utána már könnyebb dolgunk van, mert a további prímeknek már a négyzete is nagyobb 40-nél, tehát azokkal már nem kell számolni. Így a többi prímszám kitevőjét nem részletezem, a prímtényezős felbontás:

2^38 * 3^18 * 5^9 * 7^5 * 11^3 * 13^3 * 17^2 * 19^2 * 23 * 29 * 31 * 39.

Az osztók számát úgy kapjuk, hogy a kitevőkhöz 1-et adunk, és az így kapott számokat összeszorozzuk:

39 * 19 * 10 * 6 * 4^2 * 3^2 * 2^4.

Ez éppen annyi, amennyit az előző válaszoló felírt.