Valaki le tudná vezetni nekem ezt a matek példát (geometria)?

Feltehető, hogy a háromszög oldalainak hossza éppen 4, 5 és 6. (Az összes lehetséges háromszög ehhez hasonló, és a hasonlóság nem változtatja meg a szögeket. Egyébként pedig a felírt koszinusz-tételeknél a szorzó úgyis kiesne.)

Írjuk fel a koszinusz-tételt az "a" és "c" oldalakra.

16=25+36-60*cos(alfa)

36=16+25-40*cos(gamma),

azaz

cos(alfa)=3/4, cos(gamma)=1/8.

Így

cos(2*alfa)=cos^2(alfa)-sin^2(alfa)=

=cos^2(alfa)-(1-cos^2(alfa))=

=2*ccs^2(alfa)-1=

= 18/16 - 1 = 1/8 = cos(gamma).

Tehát cos(2*alfa)=cos(gamma). Mivel a koszinusz-függvény a ]0,180[ intervallumon kölcsönösen egyértelmű, és a háromszög szögei ebbe az intervallumba esnek, innen valóban 2*alfa=gamma következik.

Felrajzolod a háromszöget.

Mivel oldalak aránya van megadva ezért nyugodtan számolhatunk úgy, hogy

a=4

b=5

c=6

Téel, hogy nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van a hsz-ben, tehát azt kell belátni hogy gamma/alfa=2.

Behúzod b oldalra a magasságot.

És a b oldalon a részeket(amennyit a magasság elmetsz) jelölöd x el és y al.

Kapsz így három egyenletet pitagorasz tételből.

1.m^2+x^2=4^2

2.m^2+y^2=6^2

3.x+y=5

Kijön hogy x=1/2 y=9/2

cos(gamma)=x/a

cos(alfa)=y/c

Amiből alfa=41,4 gamma=82,8

UI: LEHET, hogy van egyszerűbb megoldás, sőt biztos csak most fáradt vagyok ahhoz.

Az oldalak egyenlőtlensége:

a<b<c, ezért a szögekre fennál a következő:

C>B>A, (ahol A=alfa; B=béta; C=gamma)

Írjuk fel a sinustételt:

sinC/c=sinB/b=sinB/b.

Ebből sinC=(c/a)*sinA=(3/2)sinA=2*(3/4)*sin(A)

Írjuk fel az "a" oldalra a cosinustételt:

a^2=c^2+b^2-2cb*cosA.

Ebből cosA=(c^2+b^2-a^2)/2cb.

Ebbe behelyettesítjük a megadott arányokat, amiből adódik hogy:

cosA=45/60=3/4.

Igen ám, de az előbb láttuk hogy:

sinC=(c/a)*sinA=(3/2)sinA=(3/2)sinA=2*(3/4)*sin(A)

Most a 3/4 helyére beírjuk cosA-t, ezzel:

cinC=2cosA*sinA

Összefüggéshez jutunk, ami lényegében egy azonosság, mégpedig:

sin(2A)=sin(C)

Ezzel az állítást beláttuk.

Ötödik sorban kétszer írtam ugyanazt:

"sinC/c=sinB/b=sinB/b."

Helyesen:

sinC/c=sinA/a=sinB/b.

Látom többféle megoldás is érkezett.