Határozzuk meg azt a másodfokú függvényt, amelyre f (−1) = 1, f (0) = 1 és f (1) = 3. Segítség?

Először is láthatjuk, hogy a függvény -1 és 0 helyen ugyanazokat az értékeket veszi fel. Ez azt jelenti, hogy a függvény itt (minimumhely, mivel láthatjuk, hogy ez egy "felfelé nyíló" parabola) minimumhelye (másodfokú függvényeknél) e kettőnek a számtani átlagánál van, tehát -0,5 -nél van a minimumhely. Tehát eddig azt állapítottuk meg, hogy a függvény (x+0,5)^2 + K alakú (mivel balra kell eltolnunk 0,5-tel, ezért hozzá kell adnunk 0,5-öt), ahol K-t úgy kell megállapítani, hogy teljesüljenek a feladat állításai. f(-1) = (-1+0,5)^2 + K = 0,25 + K = 1, tehát K = 0,75. Ezt még le kell ellenöriznunk f(0)-ra és f(1)-re is. Mivel ezek kijönnek, ezért megfelelő a megadott függvény.

Tehát a megoldás: f(x) = (x+0,5)^2 + 0,75

Nagyon jó volt az első megoldás, de mutatok egy másikat is:

Egy másodfokú függvény általánosan így néz ki:

f(x) = A*x^2 + B*x + C

Ha ebbe x helyébe rendbe behelyettesítjük a -1, 0 és 1 számokat, ezt kapjuk:

f(-1) = A*(-1)^2 + B*(-1) + C = A - B + C

f(0) = A*(0)^2 + B*(0) + C = C

f(1) = A*(1)^2 + B*(1) + C = A + B + C

Ezt kapjuk tehát:

A - B + C = 1

C = 1

A + B + C = 3

Ez egy 3-ismeretlenes egyenletrendszer, nagyon gyorsan megoldható:

C = 1

A = 1

B = 1

Vagyis a függvény:

f(x) = x^2 + x + 1

(Ez ugyanaz, mint ami az első megoldásból is kijött.)