MNPQ egy derékszögű trapéz amelynek átlói merőlegesek. LegyennO az árltlók metszéspontja, MP=30 cm, OP=6 cm. A) NO=? B) terület MNPQ trapéz=? C) terület POQ/terület MON arány értéke=?

Érdemes vázlatot készíteni, de egy pontos vázlatot rajzolni nem is olyan könnyű, hisz a trapéz egyik szárának merőlegesnek kell lennie az alapra, és az átlók egymással bezárt szögének is derékszögűnek kell lennie, és még az is kell, hogy az MP 30 cm-es átlót az O pont épp 24 és 6 cm-es szakaszokra vágja. Érdemes vázlatot készíteni kézzel, de az első kézzel rajzolt vázlat biztos nem sikerül még kapásból elég kifejezőre, sokszori kísérlet után viszont összejön. Persze lehet pontos megoldás-ábrát is szerkeszteni a Thalész-tétellel felhasználásával. A feladat azonban igazából nem szerkesztést, hanem számolást kér, tehát az ábrának nem kell pontosnak lennie, elég, ha kifejezi a lényeget.

A lényeg az, hogy ha elkészítem az ábrát (vagy Thalész-tétellel pontosan megszerkesztve, vagy pedig csak szabad kézzel kísérletezgetve, addig, míg egy úgy-ahogy kifejező szabadkézi vázlat nem születik), szóval ha végül sikerül egy kifejező jó ábrát rajzolni, akkor kiderül, hogy a trapéz négy darab derékszögű háromszögből áll, és e négy derékszögű háromszög közül három háromszög egymáshoz hasonló (a negyedik viszont ,,idegen'' tőlük).

A hasonlóságok arányát vizsgálva kiderül, hogy a három ,,rokon'' háromszög mindegyikére igaz, hogy a nagyobbik befogójuk épp duplája a kisebbik befogónak.

Ráadásul ez a három háromszög épp úgy csatlakozik egymáshoz, hogy egyre nagyobb háromszögek csatlakoznak egymáshoz kicsit amolyan ,,csigaházszerűen'', úgy, hogy a nagyobbik szomszéd kisebbik befogója az épp ugyanaz mint a kis szomszédnak a nagyobbik befogója.

A trapéz négy háromszöge közül három tehát az alábbi befogókkal rendelkezik:

- legkisebb háromszög: 6 és 12 hosszú befogója van neki

- köztes nagyságú háromszög: 12 és 24 hosszú befogója van neki

- legnagyobb háromszög: 24 és 48 hosszú befogója van neki.

A 48 hosszú befogó az épp a kért NO szakasz. A három háromszögnek természetesen az átfogóját is kiszámolhatom Pitagorasz-tétellel. Így már elég adat, szakasz megvan ahhoz, hogy belőlük ki lehessen számolni a teljes trapéz területét.

A területarányra vonatkozó harmadik kérdés könnyebb: mivel a kis-közepes-nagy háromszögeknél az van, hogy mindegyik háromszög kétszer olyan hosszú oldalakkal rendelkezik, mint kisebbik szomszédja, ezért a területe épp négyszeres mint a kis szomszédjáé.

A ,,terület POQ/terület MON'' kérdés az pedig tulajdonképp a legkisebb és a legnagyobb háromszög területének arányát kérdezi. A legkisebbik háromszögnél négyszer nagyobb területű a közepes háromszög, a közepes háromszögnél pedig négyszer nagyobb területű a legnagyobb háromszög, tehát a legkisebb és legnagyobb háromszög területének aránya 1 a 16-hoz.