Mekkora a téglatest maximális térfogata?

Ha a téglatest oldalai a,b,c, akkor a lapátlók összege

gyök(a^2+b^2)+gyök(a^2+c^2)+gyök(b^2+c^2)=15gyök(2),

és a térfogat

V=abc.

A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség miatt például

gyök((a^2+b^2)/2)>=gyök(ab),

tehát

(1/gyök2)*gyök(a^2+b^2)>=gyök(ab).

Itt egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a=b.

Ezt alkalmazhatjuk mindhárom tagra, és azt kapjuk, hogy

(1/gyök2)*(gyök(a^2+b^2)+gyök(a^2+c^2)+gyök(b^2+c^2)) >= gyök(ab)+gyök(ac)+gyök(bc).

Vagyis a feltételünk miatt

15 >= gyök(ab)+gyök(ac)+gyök(bc).

Egyenlőség pedig akkor és csak akkor áll fenn, ha a=b=c.

Itt például gyök(ab)=gyök(V/c), ezt mindhárom tagra alkalmazva

15 >= gyök(V/a)+gyök(V/b)+gyök(V/c),

azaz

15 >= gyök(V)*(gyök(1/a)+gyök(1/b)+gyök(1/c)). (*)

A jobb oldalon

gyök(1/a)+gyök(1/b)+gyök(1/c)=3*((gyök(1/a)+gyök(1/b)+gyök(1/c))/3)>=3*köbgyök((1/gyök(a))*(1/gyök(b))*(1/gyök(c))),

az utolsó lépésben a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget alkalmaztuk. Itt is pontosan akkor áll fenn egyenlőség, ha a=b=c. Ezt tovább alakítva

3*köbgyök((1/gyök(a))*(1/gyök(b))*(1/gyök(c)))=

=3*köbgyök(1/gyök(V))=3*hatodikgyök(1/V).

Ezt beírva a (*) egyenlőtlenségbe

15 >= 3*gyök(V)*hatodikgyök(1/V)=3*köbgyök(V),

ahonnan

köbgyök(V)<=5,

V<=125.

Tehát V legfeljebb 125 lehet, és ez elő is fordulhat a=b=c esetben (hiszen ekkor végig egyenlőség áll fenn), azaz az 5 egységnyi élhosszúságú kocka esetén.