Mozogjon az ST hur az AB atmero folotti felkoron ugy, hogy az ST szakasz hossza nem valtozik. Legyen M az ST felezopontja es P az S meroleges vetulete AB-re. Hogy kell az ST hurnak elhelyezkednie, hogy az SPM szog maximalis illetve minimalis legyen?

Legyen O a kör középpontja! Ekkor az SPOM négyszögnek P-nél derékszöge van (hiszen P merőleges vetület) és M-nél is derékszöge van (hiszen az ST húr felezőmerőlegese tartalmazza az O körközéppontot). Ezért SPOM húrnégyszög, így a kerületi szögek tétele miatt az SM szakasz P-ből és O-ból ugyanolyan szögben látszik.

Így a vizsgált SPM szög ugyanakkora, mint az SOM szög. Az SOM derékszögű háromszögnek azonban az SM befogója állandó (hiszen a rögzített hosszúságú ST szakasz fele) és az OS átfogó is állandó (a félkör sugara). A vizsgált szögünk szinusza SM/OM, ami az előzőek miatt állandó; így a vizsgált szög is állandó.

Ez azt jelenti, hogy az SPM szög nem függ az ST húr megválasztásától.

Hogy mennyire igaza van az első válaszolónak, itt ellenőrízheted:

[link]

(Annyi az eltérés, hogy az ábrán a kör középpontja C )

Az S pont mozgatásával figyelheted meg, hogy a szög "hogyan változik".

Jogos, valóban elírtam: az SM/OS hányadosról indokoltam meg, hogy állandó; az a vizsgált szög szinusza.

Persze OM-ről sem nehéz megindokolni, hogy állandó, hiszen egy rögzített hosszúságú húr a kör középpontjától rögzített távolságra van.