Mikor fordul elő rezonancia állandó együtthatós differenciál egyenletnél?

Olvasd el mondjuk ennek a pdf-nek a 26.,27. oldalát:

[link]

(Lehet, hogy van ennél jobb jegyzet is, de úgy látom ez se rossz, és ezt találtam elsőre.)

Persze érdemes lehet elolvasni több mindent is ebből, mondjuk a 22. oldal aljától kezdd az olvasást.

Egy példa:

x′′(t) + 16·x(t) = 8·cos(4t)

[Először félreértettem a kérdésedet, azért ez olyan példa, aminek a megoldása egy rezonáló gerjesztett rendszer (úgy értem mondjuk az, amikor katonák menetelnek egy hídon, és ezért a híd berezonál és leszakad). Ennek a diff.egyenletnek a megoldása során is rokonság ("rezonancia") van a homogén általános megoldás és az inhomogén egyenlet jobb oldalán lévő függvény között. Azt hiszem, pont azért nevezik ezt a rokonságot "rezonanciának", mert az igazi rezonáló rendszerek egyenleteinek megoldásában is előfordul, mint majd látod.]

Először meg kell oldani a homogén egyenletet:

x′′(t) + 16·x(t) = 0

x(t) = e^(λt) alakban keressük a megoldást. A karakterisztikus egyenlet:

λ² + 16 = 0

λ₁₂ = ±4i

Tehát x(t) = c₁·e^(4it) + c₂·e^(-4it) a homogén általános megoldás. Az Euler egyenlet szerint:

x(t) = c₁(cos 4t + i·sin 4t) + c₂(cos 4t - i·sin 4t)

A konstansok helyett másokat vezethetünk be: C₁=c₁+c₂, C₂=i(c₁-c₂)

x(t) = C₁·cos 4t + C₂·sin 4t

És persze mivel az eredeti függvény valós együtthatós, itt is C₁ meg C₂ valós konstansok, legalábbis azok a megoldások érdekelnek minket. (Ehhez komplex c₁ meg c₂ tartozik, de nem érdekes...)

Ez tehát a diff.egyenlet homogén részének az általános megoldása.

Végül az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását keressük. Mivel a jobb oldal 8·cos 4t, azért alapesetben ilyen alakú lenne a partikuláris megoldás:

A·cos 4t + B·sin 4t

Most viszont a homogén általános megoldás is pont ilyen alakú (szóval "rezonancia" van köztük), ezért A és B most nem simán egy-egy konstans lesz, hanem t-nek a függvényei. Mivel a λ gyökök egyszeres gyökök voltak, ezért t első hatványa van A-ban és B-ben:

xp(t) = t·(A·cos 4t + B·sin 4t)

Ezt kell visszahelyettesíteni az eredeti egyenletbe, hogy A és B értékét megkapjuk:

x'(t) = A·cos 4t + B·sin 4t + t·(-4A·sin 4t + 4B·cos 4t)

x''(t) = -4A·sin 4t + 4B·cos 4t + (-4A·sin 4t + 4B·cos 4t) + t·(-16A·cos 4t - 16B·sin 4t)

x''(t)+16·x(t) = -16·t·(A·cos 4t + B·sin 4t) - 8(A·sin 4t - B·cos 4t) + 16·t·(A·cos 4t + B·sin 4t)

= 8(B·cos 4t - A·sin 4t)

A teljes egyenlet pedig: (hozzáírom az eredeti jobb oldalát is)

8(B·cos 4t - A·sin 4t) = 8·cos 4t

A két oldalt összehasonlítva az látszik, hogy B=1 és A=0 kell legyen.

Vagyis az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása ez:

xp(t) = t·sin 4t

Az összes megoldás pedig a homogén általánosnak és a megtalált inhomogén partikulárisnak az összege:

x(t) = t·sin 4t + C₁·cos 4t + C₂·sin 4t

(Ettől a szinusz előtti t szorzótól lesz a szinuszhullám amplitúdója egyre nagyobb, a fizikai életben ez a rezonancia.)