2hektár területű téglalapnak hogyan választhatjuk meg úgy az oldalait, hogy a kerülete minimális legyen? Bizonyítással!

Legyenek az oldalai a és b, ekkor a területe

(1) T = a*b

adott, szeretnéd minimalizálni K = 2(a+b)-t. (1)-ből

(1a) b = T/a,

ezt helyettesítjük K definíciójába:

(2) K = 2*(a + T/a).

Ez egy egyváltozós függvény, nem tudom tanultál-e deriválni, azzal meg lehet keresni a minimumát. Vagy egy másik lehetséges módszer is van. Tanultuk – talán 8.-ban, de lehet, 7.-ben –, hogy pozitív x-ekre

(3) x + 1/x >= 2,

és egyenlőség csak akkor teljesül, ha x=1 (ez tényleg egyszerűen kijön teljes négyzetté alakítással, ha gondolod, leírhatom).

Emeljünk ki (2) jobb oldalából gyök(T), ugye T pozitív, tehát ilyet szabad:

(2) K = 2*gyök(t)*(a/gyök(T) + gyök(T)/a) = 2*gyök(T)*(x + 1/x) >= 2,

az x = a/gyök(T) helyettesítéssel. Egyenlőség ugye csak akkor van, ha a/gyök(T) = 1, így

a = gyök(T)

esetén lesz a kerület minimális, ezt (1a)-ba helyettesítve b-re

b = gyök(T)

adódik.

Tehát a-t és b-t is gyök(T)-nek kell választanunk.

Írtad még, hogy

> „2 ha = 10 000 m^2”

Ezzel nem értek egyet, én úgy emlékszem hogy

1 ha = 10 000 m^2.