Sooos mértani sorozatok matek?

a1=5

q=2

Sn=2560 n=?

Sn=100000 n=?

Használd a tanult, vagy a fgv. táblában megtalálható képleteket.

Arra figyelj még, hogy mivel 2 óránként osztódik csak, így a végén még be kell osztani 2-vel az n-re kapott eredményt.

Általában a sorozat valahanyadik tagját a_n-nel jelölik. Az S_n-nél az S a görög summa (összeg) rövidítése, az n azt jelöli, hogy az n. tagig mennyi a sorozat tagjainak összege.

Nézzük meg az első néhány tagot: a1=5, ez adott. Mivel osztódnak, mindenkiből kettő lesz, tehát a2=5*2=10. Ugyanez igaz a3-nál is: a3=10*2=20. Tehát ez egy mértani sorozat, ahol a1=5 és q=2.

Első kérdés: mikor lesz a sorozat tagjainak összege legalább 2560?

A mértani sorozat összegképlete: S_n=a1*(q^n-1)/(q-1), ebbe a képletbe beírjuk az ismert tagokat (az egyenlőségjelet leváltjuk kisebb-egyenlő jelre, mivel az is jó, ha nagyobb a jobb oldal értéke:

2560<=5(2^n-1)/(2-1) /osztunk 5-tel:

512<=2^n-1 /+1

513<=2^n

A logaritmus definíciója miatt n<=log(2)513 (2-es alapú logaritmus 513)=9,003

Ha n=9 lenne, akkor csak 2555 amőbánk lenne, így a következő pillanatban lesz legalább 2560 amőbánk, tehát n=10. Mivel 2 óránként nő az amőbák egyedszáma, ezért 20 órát kell várnunk.

A másik részt hajszál pontosan ugyanígy kell megcsinálni.