Matek! Mértani Sorozat feladatok! Valaki érti? Megtudná oldani? (a2=a1×q stb. )

Ezeket jegyezd meg:

Számtani:

aᵢ = a₁ + (i-1)·d

Sᵢ = (a₁ + aᵢ)·i / 2

Mértani:

aᵢ = a₁·q^(i-1)                    (q az i−1-ediken)

Sᵢ = a₁·(q^i − 1)/(q − 1)    (q az i-ediken mínusz 1 van a számlálóban)

És most:

a₈ = 17: 17 = a₁ + 7d

a₄ = 8:   8 = a₁ + 3d

Ezzel van két egyenleted és két ismeretlened, ki lehet fejezni őket. Mondjuk kivonjuk a felső egyenletből az alsót:

9 = 4d

d = 9/4

aztán bármelyikből már kijön a₁:

a₁ = 8 − 3·9/4 = 5/4

a₂₀ = 5/4 + 10·9/4 = 95/4

S₂₀ = (5/4 + 95/4)·20/2 = 100/4 · 10 = 250

---

a₅+a₁₂ = 500 → a₁+4d + a₁+11d = 500 → 2a₁ + 15d = 500

a₁₈+a₇ = 25 → a₁+17d + a₁+6d = 25 → 2a₁ + 23d = 25

Megint van 2 egyenlet és 2 ismeretlen.

Kivonva az alsóból a felsőt:

8d = −475

d = −475/8

2a₁ = 25 − 23d = 25 + 23·475/8 = 11125/8

a₁ = 11125/16

Mértani:

a₁₁+a₁₃ = a₁·q¹⁰ + a₁·q¹² = 170 → a₁·q¹⁰(1 + q²) = 170

a₁₅+a₁₇ = a₁·q¹⁴ + a₁·q¹⁶ = 6800 → a₁·q¹⁴(1 + q²) = 6800

Most is van 2 egyenlet és 2 ismeretlen.

A másodikat osszuk el az elsővel:

q⁴ = 680/17

q = ∜(680/17)

a₁ = ... az is kijön, de elég ronda... számold ki.

S₁₄ = a₁·(q¹⁴−1)/(q−1) = ... ez is ronda :)

Lehet számológépet használni? Ha nem, akkor legalább nem kell kiszámolnotok őket :) Ha igen, az szívás...

---

a₅·a₈ = a₁·q⁴ · a₁·q⁷ = 97 → a₁²·q¹¹ = 97

a₇·a₁₁ = a₁·q⁶ · a₁·q¹⁰ = 186 → a₁²·q¹⁶ = 186

A másodikat osszuk el az elsővel:

q⁵ = 186/97

q = ⁵√(186/97)

a₁ = √(97/q¹¹) = ... jó ronda...

---

23 évvel ezelőtt a lakosság:

a₁ = 150000

Most:

a₂₄ = 135000

Figyelj, hogy most a 24-edik év van, ha 23 évvel ezelőtt volt az első. Kis számokkal könnyű kitalálni: ha 1 évvel ezelőtt volt az első, akkor most van a második (tehát eggyel több, mint ahány évvel ezelőtt...)

Ez is mértani sorozat, az évi növekedés (most éppen csökkenés) a kvóciense.

a₂₄ = a₁·q²³

135000 = 150000·q²³

q²³ = 135/150

q = ²³√(135/150)

q = 0,9954

Vagyis évente az előző év 99,54%-a maradt csak meg, vagyis évi 0,46% a csökkenés.

[link]

[link]

[link]