Mi az alábbi feladatok megoldása?

1a)

cos(3x-π/4) = 1/2

Érdemes az ilyet úgy felírni először, hogy α=3x-π/4, és cos α = 1/2.

Illik fejből tudni, hogy 60 foknak a koszinusza az 1/2, de ha nem tudod, akkor a számológép megmondja. De nem ez az egyetlen megoldás!

Rajzold fel a koszinusz függvény görbéjét, meg 1/2-nél egy vízszinteset, és nézd, hol metszik egymást. Azt látod, hogy 60°-on kívül −60°-nál is, valamint 360°-os periódussal újra az elcsúsztatott helyeken. Ezt így írjuk fel:

α₁ = 60° + k·360°

α₂ = −60° + k·360°

Fokok helyett radiánban szokás számolni, most főleg, mert π is van az x mellett. 60°=π/3 radián, tehát:

α₁ = π/3 + 2k·π

α₂ = −π/3 + 2k·π

ahol k ∈ ℤ (vagyis k bármilyen pozitív vagy negatív egész szám, illetve 0)

Most helyettesítsük vissza α értékét:

α₁:

3x-π/4 = π/3 + 2k·π

3x = π/3+π/4 + 2kπ

3x = 7π/12 + 2kπ

x₁ = 7π/36 + 2kπ/3

α₂:

3x-π/4 = −π/3 + 2k·π

3x = −π/3+π/4 + 2kπ

3x = −π/12 + 2kπ

x₂ = −π/36 + 2kπ/3

1b)

ctg²(2x−π/5) = 1/3

Négyzetgyököt vonunk mindkét oldalból. Vigyázni kell, hogy négyzetnek a négyzetgyöke esetén abszolút érték jön be:

|ctg(2x−π/5)| = 1/√3

és az abszolút érték felbontásakor két irányba kell továbbmenni:

(Lehet úgy is gondolkodni, hogy ha valaminek a négyzete 1/3, akkor az a valami vagy +1/√3, vagy −1/√3, de a matektanárok általában jobban szeretik az abszolút értékes módszert. A végeredmény persze ugyanaz.)

a)

ctg(2x−π/5) = 1/√3

α = 2x−π/5

ctg α = 1/√3

Ezt is most vagy fejből tudja az ember, hogy 60 foknak a kotangense 1/√3, vagy számológéppel kijön. (Illik tudni.)

És persze nem csak ez az egy megoldás lesz, úgyhogy érdemes felrajzolni a kotangens függvényt, meg valahol egy vízszintes vonalat. (Az 1/√3 = √3/3 ≈ 0,6-ot persze nem lehet pontosan berajzolni, de ha nagyjából berajzolod, az is elég. Látszik, hogy más gyök nem lesz, csak 180°-os periódussal ismétlődve ugyanez. Tehát:

α = 60° + k·180° (k∈ℤ)

radiánban:

α = π/3 + kπ

2x−π/5 = π/3 + kπ

2x = π/3+π/5 + kπ

2x = 8π/15 + kπ

x = 4π/15 + kπ/2

b)

ctg(2x−π/5) = −1/√3

ctg α = −1/√3

Ugyanúgy mint előbb:

α = −π/3 + kπ

2x−π/5 = −π/3 + kπ

stb, folytasd.

2a)

4/cos²x - 5tg²x = 1

Először ki kell kötni, hogy cos x ≠ 0, vagyis x ≠ π/2 + kπ. Ezt érted, hogy miért?

tg x pont ugyanezekre az értékekre nincs értelmezve, abból nincs új kikötés.

4/cos²x - 5sin²x/cos²x = 1

4 - 5sin²x = cos²x

Tudjuk, hogy sin²x + cos²x = 1 → cos²x = 1−sin²x

4 - 5sin²x = 1−sin²x

3 = 4sin²x

sin²x = 3/4

A gyökvonás megint két irányba bomlik:

a)

sin x = √3/2

Tudjuk, hogy sin 60° = √3/2, és ha megint felrajzoljuk a szinusz alakját, két megoldás jön ki (plusz a periódusosak): α mellett 180°-α is megoldás:

x₁ = π/3 + 2kπ

x₂ = π−π/3 + 2kπ = 2π/3 + 2kπ

b)

sin x = −√3/2

Az előzőhöz hasonlóan:

x₃ = −π/3 + 2kπ

x₄ = −π+π/3 + 2kπ = −2π/3 + 2kπ

A kikötés egyik megoldást sem érinti, tehát mind a négy talált gyök jó.

2b)

Az előzőekhez hasonló a gondolatmenet: cos α = cos β ott teljesül, ahol a koszinuszfüggvény képét egy ±1 közötti vízszintes egyenes metszi. Ez két esetben lehet:

a) a két szög ugyanaz (plusz periódus)

α = β + 2kπ

b) a két szög egymás negáltja (plusz periódus)

α = -β + 2kπ

Vagyis most:

a)

10x = 2x + 2kπ

b)

10x = −2x + 2kπ

A befejezést rád bízom... Írd meg, mi lett az eredmény.