Matek, halmazos feladat. Segítség! (? )

???

nem értem. a racionális számok halmaza eleve zárt a 4 alapműveletre, ezért akárhogy osztod őket 2 halmazba, azok zártak lesznek az összeadásra is és a szorzásra is

pl: A={1}; B={racionális számok, kivéve az 1}

Az előző válasz nem jó, mert például 2 és 1/2 B-ben van, de a szorzatuk nem.

Szorzásra nézve:

legyen A az 1-től kisebb racionális számok halmaza,

B az 1-től nem kisebb racionális számok halmaza. Világos, hogy mindkettő szorzásra nézve zárt.

Összeadásra nézve szerintem nem lehet megcsinálni. Ha ugyanis valamelyik halmazban - például A-ban - ott van 1, akkor az összes egész szám ott van. Hiszen az összeadásra nézve zártság miatt benne van A-ban 1+1, 1+1+1, stb.

Viszont az összes többi racionális számnak is ott kell lennie A-ban. Ha ugyanis p/q (ahol p és q egész számok) B-be esne, akkor p/q+p/q, stb. így a q-szoros összeg

(p/q)*q=p is B-ben lenne; az előbb viszont megmutattuk, hogy minden egész szám A-ban van. Tehát ekkor B az üres halmaz lenne.

ááá már értem, azt hittem úgy zárt, hogy nem lépünk ki a racionális számok halmazából az irracionális számokhoz, vagy a komplex számokhoz.

Összeadásnál talán jó az, hogy minden második racionális szám a B halmazba kerül és a maradék az A-ba. Nehéz elképzeli, ezt a "minden második racionális szám"-ot, de megvalósítható, hisz a racionális számok halmaza megszámlálható, vagyis sorozatba rendezhető.

Az összeadásnál én kitartanék amellett, hogy nem lehetséges, hiszen be is bizonyítottam.

Ha a "sorbarendezésnél" a Cantor-féle átlós eljárásra gondolsz, akkor nem lesz jó, amit írsz.

A "sorrend" így indul:

1,2,1/2,1/3,2,3,4,3/2,2/3,stb.

Tehát az általad említett halmazok:

A=1,1/2,2,4,2/3,...

B=2,1/3,3,3/2,...

Tehát az A-beli összeg 1+1/2=3/2 B-be esik, vagyis nem zárt összeadásra nézve A.