Halmazos feladat. Hogyan?

Ha |A∩B∩C| = 3, akkor 3 közös elem van a három halmazban. Persze lehet, hogy mondjuk B és C-ben 8 közös elem van (tehát a teljes B ⊂ C), de akkor A-ban csak 3 olyan elem lenne, ami B és C-ben is van, 4 elem különböző kell legyen. Vagyis ekkor |A∪B∪C|=9+4=13 lesz (vagyis C elemei 9-en, valamint A azon 4 eleme, ami nem eleme C-nek).

Ha belegondolsz a többi lehetőségbe, rájössz, hogy ez a legkisebb lehetséges unió elemszám, a többi esetben ennél több jön ki. Vagyis ez a 13 a válasz a kérdésre.

A legnagyobb egyébként akkor jön ki, ha a 3 közös elemen kívül mindegyik halmazban olyan elemek vannak csak, amik nincsenek egyik másikban sem, ekkor az unió elemszáma = 3+4+5+6 = 18.

13 és 18 között bármely szám lehet az unió elemszáma.

---

Más gondolatmenet:

Ha A ⊂ B ⊂ C lenne, akkor csak C elemei vannak (a többi ezek részhalmaza), tehát az unió elemszáma is 9 lenne. Viszont ekkor a metszet elemszáma 7 (ami az A halmaz elemszáma), tehát ez nem lehet a felállás. Ha A-ból egy elem egyedi, tehát más, mint a C-ben lévőek, akkor eggyel csökken a metszet elemszáma, ezzel párhuzamosan eggyel nő az unió elemszáma. Összesen 4-gyel kell csökkennie, hogy 3 legyen a metszet, vagyis ugyanúgy 4-gyel nő az unió elemszáma, 9+4=13-ra.

Tényleg lehet 11! Nem tudom, hogyan lehet szépen kiszámolni, de kísérletezéssel kijön. Ez a végeredmény:

Rajzolj fel 3 egymást metsző karikát (Venn diagram). A bal felső legyen az A, jobb felső a B, középső alsó pedig a C. Nem akarok rajzolni, remélem, így is érted majd:

- A hármas metszetbe (középre) 3-at kell rakni természetesen, hisz ez mindhárom metszete.

- A és B metszetébe (a hármasmetszet felett) 2 jön

- A és C metszetébe 2

- B és C metszetébe 3

- C törzsébe (metszet nélkül) 1

Ezek összege 11.

Kísérletezve úgy jött ki, hogy addig próbálgattam a karikák metszeteibe számokat írni, amíg minimális nem lett. De nem tudok rá szisztematikus módszert.

Mindjárt megnézem a második feladatodat is.

n = (x+3)/(x-3) egész kell legyen.

Kikötés: x ≠ 3

n·(x-3) = x+3

nx-3n = x+3

nx-x = 3n+3

(n-1)x = 3(n+1)

Mindkét oldalon ugyanazoknak a prímtényezőknek kell lenni. Mivel jobb oldalt van 3, a bal oldalon is kell legyen. Ez vagy úgy lehet, hogy a) n-1 osztható 3-mal, vagy b) x osztható 3-mal.

a) n-1 osztható 3-mal, tehát n=3k+1

(n-1)x = 3(n+1)

3k·x = 3(3k+1+1)

k·x = 3k+2

k·(x-3) = 2

Bal oldalon olyasmi lehet csak, hogy 1·2. Valójában ez a négy eset lehet:

k=1 és x-3=2 --> x=5

k=-1 és x-3=-2 --> x=1

k=2 és x-3=1 --> x=4

k=-2 és x-3=-1 --> x=2

b) x osztható 3-mal, tehát x=3k

(Mivel x nem lehet 3 a kikötés miatt, ezért k≠1)

(n-1)x = 3(n+1)

(n-1)·3k = 3(n+1)

nk-k = n+1

nk-n = k+1

n(k-1) = k+1

Mivel k≠1, oszthatunk (k-1)-gyel:

n = (k+1)/(k-1)

Érdemes m=k-1 behelyettesítést csinálni:

Ekkor x = 3·(m+1)

És persze m≠0 lesz a k≠1 kikötésből.

n = (m+2)/m

n = 1 + 2/m

Ez csak úgy lesz egész, ha m a következő értékek valamelyike: 1,2,-1,-2

m=1 -> k=2 --> x=6

m=2 -> k=3 --> x=9

m=-1 -> k=0 --> x=0

m=-2 -> k=-1 --> x=-3

Vagyis x a következő 8 érték lehet:

-3, 0, 1, 2, 4, 5, 6, 9

Hát, gimiben matek tagozat volt, aztán BME villanykar, és valahogy megmaradt, hogy matekosan gondolkodik az agyam :)

De sajnos nem vagyok tévedhetetlen, mint az első feladat is mutatja :(