Hogyan oldjuk meg ezt? Hatarozzuk meg az osszes olyan fuggvenyt amely f (1-x) +2f (x+1) =x+3

Az látszik, hogy az egyik megoldás f(x) = x

Van-e más?

Az f(x) helyett inkább nézzük a g(x) = f(x+1) függvényt. (Vagyis elcsúsztatjuk az x tengely mentén balra eggyel.) Aztán majd ha ez kijön, visszatranszformáljuk azzal, hogy f(x) = g(x-1)

f(1-x) = g(-x)

2f(x+1) = 2g(x)

g(-x) + 2g(x) = x+3

g(x) = (x+3 - g(-x))/2

Vagyis megkapjuk a g(x) függvény pozitív oldalát, ha a negatívot tükrözzük középpontosan az origóra (-g(-x)), hozzáadunk x+3-at, és megfelezzük. Ugyanígy megy a negatív oldal is.

Pozitív x-ekre tehát:

[1] g(|x|) = (|x|+3 - g(-|x|) )/2

Negatív x-ekre:

[2] g(-|x|) = (-|x|+3 - g(|x|) )/2

A [2] egyenletet helyettesítsük be az [1]-be:

g(|x|) = (|x|+3 - (-|x|+3 - g(|x|) )/2 )/2

4g(|x|) = 2|x|+6 - (-|x|+3 - g(|x|) )

4g(|x|) = 2|x|+6 +|x|-3 + g(|x|)

3g(|x|) = 3|x|+3

g(|x|) = |x|+1

Ez tehát a pozitív fele a függvénynek. A negatív fele pedig [2] szerint:

g(-|x|) = (-|x|+3 - (|x|+1) )/2

g(-|x|) = (-2|x|+2)/2

g(-|x|) = -|x|+1

Vagyis ez az egy megoldás jött ki:

g(x) = x+1

Ami pedig pontosan ugyanaz, mint az f(x) = x. Tehát ez az egyetlen ilyen tulajdonságú függvény.