Matek. Hogyan tudom megmutatni hogy egy részben rendezés inverze is részben rendezés?

Legyen R egy részben rendezés, és I jelölje ennek az inverzét. Az egyszerűség kedvéért, ha x és y R szerint relációban állnak, azt xRy-al, ha pedig I szerint relációban állnak, xIy-al jelölöm.

Az, hogy I R inverze, azt jelenti, hogy xRy éppen akkor teljesül, ha yIX.

A részbenrendezés azt jelenti, hogy reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív.

-reflexív:

Azt kell belátni, hogy minden x esetén xIx.

Mivel R részbenrendezés, ezért minden x-re xRx teljesül. Ebből I definíciója miatt xIx következik.

-antiszimmetrikus:

Azt kell belátni, hogy ha x,y esetén xIy és yIx is teljesül, akkor x=y.

Mivel R-re ez teljesül, xRy és yRx esetén x=y. De xRy ekvivalens yIx-el és yRx ekvivalens xIy-al. Tehát ez az állításunkat jelenti.

-tranzitív:

Azt kell belátni, hogy ha xIy és yIz akkor xIz.

xIy azt jelenti, hogy yRx, yIz azt jelenti, hogy zRy. Tehát a feltételünk az, hogy zRy és yRx. Mivel R tranzitív, ebből zRx következik. Ez viszont ekvivalens azzal, hogy xIz.

A valós számok halmazán legyen (x,y) relációban, ha x<=y. Ez részbenrendezés (sőt, rendezés is).

A reláció inverze: (x,y) relációban áll, ha x>=y. Világos, hogy ez is (részben)rendezés.