Valószínűség számítás! Hogy kell?

1)

Összes eset száma:

8+11=19 diákból kiválasztanak 9-et, azt (19 alatt 9) különböző módon lehet.

Kedvező esetek száma:

9 között 5,6,7,8,9 fiú van. 9 nem lehet, mert nincs annyi, szóval 5,6,7,8.

- 5 fiú és 4 lány: bármelyik 5 lehet a 8 fiú közül és bármelyik 4 a 11 lány közül, vagyis ez (8 alatt 5)·(11 alatt 4) különböző eset lesz.

- 6 fiú és 3 lány: (8 alatt 6)·(11 alatt 3)

- 7 fiú és 2 lány: (8 alatt 7)·(11 alatt 2)

- 8 fiú és 1 lány: a fiú csak egyféleképpen lehet, a lány 11, tehát 11. De lehet úgy is írni, hogy (8 alatt 8)·(11 alatt 1)

Összesen a kedvező esetek száma tehát ezek összege. Szummával írva, hogy ne kelljen annyit írni (de persze jó az is, ha leírod a négyet):

  8

  Σ (8 alatt k)·(11 alatt 9-k)

k=5

A valószínűség kedvező/összes.

2)

Egy húzáskor annak a valószínűsége, hogy fekete lesz, p=6/15. Az, hogy fehér lesz, 1-p=9/15. Minden húzás (kísérlet) egymástól független, ugyanakkora p valószínűségű, és az érdekel, hogy n=5 kísérletből mennyi lesz sikeres, vagyis fekete. Ezt hívják binomiális eloszlásnak, gondolom tanultátok. Ha nem tanultátok még, akkor majd a végén leírom binom. nélkül is.

Be kell magolni, hogy a binomiális eloszlásnál annak a valószínűsége, hogy n-ből pontosan k-szor sikerül a kísérlet:

P(X = k) = (n alatt k)·p^k·(1-p)^(n-k)

Most annak a valószínűsége, hogy nullaszor lesz fekete:

P(X=0) = (5 alatt 0)·p^0·(1-p)^5 = (1-p)^5

Az meg, hogy 1-szer lesz fekete:

P(X=1) = (5 alatt 1)·p·(1-p)^4

De nem ez volt a kérdés, hanem az, hogy legalább 1-szer. Vagyis 1,2,3,4,5 fekete lehet:

  5

  Σ (5 alatt k)·p^k·(1-p)^(5-k)

k=1

... de ez így ronda. Ki lehet úgy is számolni, hogy bármi jó, kivéve, amikor 0 fekete van. Aminek a valószínűsége az, hogy

1 - P(X=0)

vagyis:

1 - (9/15)^5

---

Ha nem tanultátok még az eloszlásokat, akkor meg úgy megy, hogy ha annak a valószínűsége kell, hogy legalább 1 fekete lesz benne, azt nehéz kiszámolni; sokkal egyszerűbb a fordítottját, vagyis hogy nem lesz egy fekete sem. Szóval mind az 5 fehér. Annak pedig (9/15)^5 a valószínűsége.

Vagy ha jobban tetszik:

Összes eset száma: 15^5 (bármelyiket húzzuk a 15 közül mind az 5-ször)

Kedvező esetek száma: 9^5 (mind az 5-ször valamelyik fehéret húzzuk)

A kérdéses valószínűség pedig persze 1 - (9/15)^5