Matek 10. oszt! Bizonyítsuk be, hogy ha abc=1 és a+b+c= 1/a + 1/b + 1/c, akkor az a, b, c számok közül legalább az egyik egyenlő 1-gyel?!

abc=1 miatt a=1/bc. Ezt írjuk be a második egyenletbe:

1/bc+b+c=bc+1/b+1/c.

Szorozzuk be mindkét oldalt bc-vel:

1+b^2c+bc^2=b^2c^2+c+b.

Rendezzük az egyenletet:

b^2c^2-1-b^2c-bc^2+b+c=0.

A bal oldalt alakítjuk:

b^2c^2-1-b^2c-bc^2+b+c=(bc+1)(bc-1)-bc(b+c)+b+c=

=(bc+1)(bc-1)-(b+c)(bc-1)=(bc-1)(bc+1-b-c)=

=(bc-1)(b(c-1)-(c-1))=

=(bc-1)(c-1)(b-1).

Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényező 0, így

bc=1 vagy b=1 vagy c=1. bc=1 pedig éppen a=1-el ekvivalens.

Van egy egyszerűbb, tömörebb megoldás, ami szimmetriatartó is:

Tekintsük az(a-1)(b-1)(c-1) szorzatot.

Felbontva:

...=abc-(ab+ac+bc)+(a+b+c)-1

mivel abc=1, így abc és -1 kiesnek:

Ekkor:

(a-1)(b-1)(c-1)=(a+b+c)-(ab+ac+bc)

(a-1)(b-1)(c-1)=(a+b+c)-abc(1/a+1/b+1/c)

viszont abc=1 miatt:

(a-1)(b-1)(c-1)=(a+b+c)-(1/a+1/b+1/c)

ez pedig a feltétel szerint nulla.

vagyis (a-1)(b-1)(c-1)=0

Innen következik az állítás.