Miért folytonos balról az eloszlásfüggvény, jobbról pedig monoton?

Nem jobbról monoton, hanem egyszerűen csak monoton.

Balról azért folytonos, mert úgy van definiálva, hogy P(X<x). Ha úgy lenne definiálva (angol nyelvterületen úgy szokták), hogy P(X≤x), akkor jobbról lenne folytonos.

Szóval legyen egy diszkrét valószínűségi változó, aminek a legkisebb lehetséges értéke k. A k pontban a valószínűsége mondjuk P(X=k)=0.3. Akkor az eloszlásfüggvénye a k pont körül F(k)=P(X<k)=0, de F(K+ε)=P(X<k+ε)=0,3. Vagyis itt nem folytonos. Viszont balról folytonos, mert F(k-ε)=P(X<k-ε)=0 teljesül.

Ha olyan folytonos valószínűségi változóról van szó, aminek van sűrűségfüggvénye is, akkor az eloszlásfüggvény mindenhol folytonos.