Az alábbi függvény hol nem folytonos, ezen helyeken milyen jellegű szakadása van?

f(0)=0, f(3)=1/3, f(−3)=1

máshol f(x) = (x²−9)/(x³−9x)

ez szorzattá alakítva:

(x+3)(x−3)/(x(x+3)(x−3))

Ezt 1/x-re lehetne egyszerűsíteni, DE egyszerűsíteni nem szabad csak úgy, mert az már másik függvény lenne! Azért lenne más, mert az 1/x csak x=0-nál nincs értelmezve, az f(x) meg 0 mellett ±3-nál sincs.

Most viszont a 0, 3, −3 x-ekre külön szabállyal van függvényérték előírva, tehát a törtes képletet nem kell kiértékelni ezekre az x-ekre. Így az se lehet gond, ha (x+3)-mal meg (x−3)-mal is egyszerűsítünk. (x-szel is szabadna, mert x=0-ra is külön megadás van, de azzal nem tudunk.)

Kicsit tovább magyarázva:

Pl. az (x−3)-mal az a helyzet, hogy ez van a számlálóban is meg a nevezőben is, és ha az értéke nem 0, akkor nics is vele gond. Vagyis ha x akármilyen közel is van 3-hoz, de x≠3, akkor szorzunk is meg osztunk is ugyanazzal a pici számmal, tehát a tört értéke változatlan. Ha x=3 is lehetne, akkor gond lenne, de az nem lehet (mert akkor más szabály mondja meg f(x) értékét), tehát egyszerűsíthetünk.

Vagyis ez a függvény is pont ugyanaz:

f(0)=0, f(3)=1/3, f(−3)=1

máshol f(x) = 1/x

Egy függvény akkor folytonos egy x helyen, ha értelmezve van ezen a helyen, létezik a határértéke ebben az x-ben és a határérték megegyezik a behelyettesítési értékkel. (Megjegyzés: Ha nem lenne értelmezve ott, akkor nem lenne értelme annak a kérdésnek, hogy folytonos-e ott.)

Ezeket kell megvizsgálni most minden x-re. Persze elég csak az x=0,3,−3 helyeken, a többiben nem lehet gond.

x=0:

f(0)=0, de lim f(x) (x→0) nem létezik (bal oldali határértéke −∞, jobb oldali +∞). Vagyis nem folytonos. Másodfajú szakadása van.

x=3:

f(3)=1/3, lim f(x) (x→3) pedig szintén 1/3. Ezt a határértéket könnyű volt kitalálni, mert ha x≠3, de x majdnem 3, akkor f(x)=1/x, aminek értéke is van, 1/3.

Mivel a határérték megegyzik a behelyettesítési értékkel, a fv. itt folytonos.

x=−3:

f(−3)=1, de lim f(x) (x→−3) határérték = −1/3 (pont ugyanúgy, mint az előbb).

Határérték létezik, de nem azonos a behelyettesítési értékkel, vagyis elsőfajú szakadása van, ami megszüntethető.

Akkor elsőfajú a szakadás, ha létezik a bal és jobboldali határérték és mindkettő véges, de nem azonos a behelyettesítési értékkel. Az elsőfajú szakadás megszüntethető, ha a két határérték egyforma (ekkor ha csinálnánk egy olyan szabályt, hogy a behelyettesítési érték pont annyi legyen, mint a határérték, akkor megszűnne a szakadás).

Akkor másodfajú a szakadás, ha nem elsőfajú, vagyis ha vagy nem létezik legalább az egyik oldali határérteke, vagy nem véges.