Igaz-e, hogy ha f_n (x) ->f (x) a (0,1) intervallumon és f_n (x) folytonos x_0=1/2–ben minden n-re, akkor f is folytonos x_0=1/2 -ben?

Nem igaz, csak ha egyenletes a konvergencia. Én úgy értem, Te pontonkénti konvergenciát tettél fel. Legyen f_n(x) a következő: a (0,1/2]-en (x+1/2)^n és az (1/2,1)-en azonosan 1. Nyilván minden f_n folytonos az 1/2-ben. A limeszük, f, a következő lesz: (0,1/2)-en azonosan 0, az [1/2,1)-en azonosan 1. Ez az f nyilván nem folytonos az 1/2-ben. Gondold meg, hogy miért ez a limeszfüggvény (készíthetsz ábrákat különböző f_n-ekről számítógéppel, ha segít).

Lényegében ez szokott lenni a standard példa arra, hogy folytonos függvények sorozatának pontonkénti limeszfüggvénye nem feltétlenül folytonos. Ha a konvergencia egyenletes, akkor viszont az lesz. Ennél egyszerűbb példa nem nagyon van, ha valaki tanulja az egyenletes konvergenciát, akkor ezt a példát egy életre megjegyzi.