Vektoros, skalaris szorzatos, vektorialis szorzatos kerdesre tudnal-e valaszoln?
Ha a,b,c,x,y,z tetszoleges valos szamok, akkor
ax + by + cz +[(a^2 + b^2 + c^2)*(x^2+y^2+z^2)]^(1/2) > (2/3)(a+b+c)(x+y+z)
A > az lehet egyenlo is.
Skalaris szorzatok meg hosszak latszanak az egyenlotlensegben, de ennel tovabb nem jutottam.
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz1.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
Na jó, ha vektor, akkor legyen vektor.
Mivel nem tudok vastagon szedni se meg aláhúzni se, a vektorokat nagybetűkkel fogom jelölni.
A=(a,b,c)
X=(x,y,z)
E=(1,1,1)
AX +|A|*|X| ≥ (2/3)AE * XE
A/|A| * X/|X| +1 ≥ (2/3) EA/|A| *EX/|X|
Legyen BCE három egységnyi hosszú vektor, E=(1,1,1)
BC +1 ≥ (2/3)EC * EB
Legyen E és C közti szög α
E és B közti szög β
C és B közti szög γ
Mindhárom szög 0 és 180 fok közötti.
Ekkor az egyenlőtlenség így fog kinézni:
cos(γ) +1 ≥ (2/3)cos(α)cos(β)
0 ≤ α+β+γ ≤ 360
α+β ≥ γ (háromszög egyenlőtlenség egy csúcsból futó szögekre)ezért:
cos(γ) ≥ cos(α+β)
cos(γ) +1 ≥ cos(α+β) + 1 = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) +1
=
= (2/3)cos(α)cos(β) + (1/3)cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β) + 1 ≥ (2/3)cos(α)cos(β)
Valamit elszámolhattam, mert túl éles az egyenlőtlenség, de nem látom mit. Elvileg itt nem lehetne a két oldal egyenlő, pedig lathatólag neha az.
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
BKRS, az E vektor nem egységnyi hosszú, szóval nem lehet így rögtön átírni koszinuszokra.
Viszont |E|=√3, ezért az F=E/√3 egységvektor bevezetésével az egyenlőtlenség így alakul:
BC + 1 ≥ 2·FC·FB
Az α, β, γ szögek ugyanazok most is.
cos(γ) + 1 ≥ 2 cos(α)cos(β)
cos(γ) + 1 ≥ cos(α+β) + cos(α-β)
cos(γ) - cos(α+β) ≥ cos(α-β) - 1
A jobb oldal ≤ 0. Tehát ha belátjuk, hogy a bal oldal ≥ 0, akkor készen is vagyunk.
Ahogy BKRS is írta, az egy csúcsba futó szögek közötti egyenlőtlenségeket használhatjuk fel (α+β ≥ γ, α+γ ≥ β, β+γ ≥ α) és persze azt, hogy α+β+γ ≤ 360°.
Ha α+β ≤ 180°, akkor mivel α+β ≥ γ, ezért cos(α+β) ≤ cos(γ), hisz a cos szig.mon.csökkenő ebben a tartományban.
Ha α+β > 180°, akkor mivel α+β+γ ≤ 360°, ezért cos(γ) = cos(360°-γ) ≥ cos(α+β), hisz a cos szig,.mon,növekvő ebben a tartományban.
Vagyis a bal oldal mindig ≥ 0.
Kész.
BKRS-nel:
AX +|A|*|X| ≥ (2/3)AE * XE
Ez nem az kellene, hogy legyen, hogy:
AX+ |A||X| ≥ (2/3)AE * XE
es ha leosztunk |A|*|X| -szel es figyelembe vesszuk, hogy ahogy bongolo irta:
|E|^2 = 3
AX/(|A|*|X|) +1 ≥ 2 *AE/(|A|*|E|) * XE /(|X|*|E|)
Es akkor igy mar E/|E| az egysegvektor lenne,
es akkor
cos(γ) +1 ≥ 2cos(α)cos(β)
esakkor ez onnan adodna, hogy:
cos(γ) +1 ≥ cos(α+β) + 1 ≥ cos(α+β) + cos(α - β) = 2cos(α)cos(β)
Mindkettotoknek ment a +, meg azt meg nezzetek meg leci, hogy igy ahogy irom jo lesz-e.
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
Nagyon jó, és akkor ebből látszik az egyenlőség feltétele:
α=β ≥ 90
γ=360-α-β
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!