Vektoros, skalaris szorzatos, vektorialis szorzatos kerdesre tudnal-e valaszoln?

Na jó, ha vektor, akkor legyen vektor.

Mivel nem tudok vastagon szedni se meg aláhúzni se, a vektorokat nagybetűkkel fogom jelölni.

A=(a,b,c)

X=(x,y,z)

E=(1,1,1)

AX +|A|*|X| ≥ (2/3)AE * XE

A/|A| * X/|X| +1 ≥ (2/3) EA/|A| *EX/|X|

Legyen BCE három egységnyi hosszú vektor, E=(1,1,1)

BC +1 ≥ (2/3)EC * EB

Legyen E és C közti szög α

E és B közti szög β

C és B közti szög γ

Mindhárom szög 0 és 180 fok közötti.

Ekkor az egyenlőtlenség így fog kinézni:

cos(γ) +1 ≥ (2/3)cos(α)cos(β)

0 ≤ α+β+γ ≤ 360

α+β ≥ γ (háromszög egyenlőtlenség egy csúcsból futó szögekre)ezért:

cos(γ) ≥ cos(α+β)

cos(γ) +1 ≥ cos(α+β) + 1 = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) +1

=

= (2/3)cos(α)cos(β) + (1/3)cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β) + 1 ≥ (2/3)cos(α)cos(β)

Valamit elszámolhattam, mert túl éles az egyenlőtlenség, de nem látom mit. Elvileg itt nem lehetne a két oldal egyenlő, pedig lathatólag neha az.

BKRS, az E vektor nem egységnyi hosszú, szóval nem lehet így rögtön átírni koszinuszokra.

Viszont |E|=√3, ezért az F=E/√3 egységvektor bevezetésével az egyenlőtlenség így alakul:

BC + 1 ≥ 2·FC·FB

Az α, β, γ szögek ugyanazok most is.

cos(γ) + 1 ≥ 2 cos(α)cos(β)

cos(γ) + 1 ≥ cos(α+β) + cos(α-β)

cos(γ) - cos(α+β) ≥ cos(α-β) - 1

A jobb oldal ≤ 0. Tehát ha belátjuk, hogy a bal oldal ≥ 0, akkor készen is vagyunk.

Ahogy BKRS is írta, az egy csúcsba futó szögek közötti egyenlőtlenségeket használhatjuk fel (α+β ≥ γ, α+γ ≥ β, β+γ ≥ α) és persze azt, hogy α+β+γ ≤ 360°.

Ha α+β ≤ 180°, akkor mivel α+β ≥ γ, ezért cos(α+β) ≤ cos(γ), hisz a cos szig.mon.csökkenő ebben a tartományban.

Ha α+β > 180°, akkor mivel α+β+γ ≤ 360°, ezért cos(γ) = cos(360°-γ) ≥ cos(α+β), hisz a cos szig,.mon,növekvő ebben a tartományban.

Vagyis a bal oldal mindig ≥ 0.

Kész.

Nagyon jó, és akkor ebből látszik az egyenlőség feltétele:

α=β ≥ 90

γ=360-α-β