1) A henger tengelymetszetének átlója az alaplappal α szöget zár be. Kiszámítani a henger térfogatát, ha a tengelymetszet kerülete P?

Ezt kinek adták fel, hányadikban?

Mert a megoldás elég húzós, utánanéztem miket kéne számolni.

1. van a henger, tengelyre merőleges metszete kör.

Ha alfa szöget zár be a metszet, akkor az ellipszis lesz.

Ahol a kis tengely a henger átmérője, a nagy tengely pedig az alfa szögből és a henger átmérőjéből szögfügvénnyel kiszámítható.

2. A tengelymetszet kerület, az húzós, de így számolható:

Az ellipszis kerülete 4 a E(e), ahol az E függvény a másodfajú teljes elliptikus integrál.

A kerület pontos végtelen sora:

K = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,

vagy

K = 2\pi a \left(1-\sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {e^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace}\right)

Ha elvégezzük a \lambda = \frac{{a - b}}{{a + b}} helyettesítést, akkor a kerületet a következő alakban is írhatjuk:

K = \pi \left( {a + b} \right)\left( {1 + \frac{{\lambda ^2 }}{4} + \frac{{\lambda ^4 }}{{64}} + \frac{{\lambda ^6 }}{{256}} + \frac{{25\lambda ^8 }}{{16384}} + ...} \right)

Néhány közelítő képlet:

K \approx 4\frac{{\pi ab + \left( {a - b} \right)^2 }}{{\left( {a + b} \right)}}

K \approx \pi \left[ {\frac{3}{2}\left( {a + b} \right) - \sqrt {ab} } \right]

Nem folytatnám mit hogyan kell tovább számolni, ha ennek megvan az eredménye, akkor továbbsegítlek.

Legyen m a henger magassága, r az alapkör sugara.

Ekkor P=2r*m/2 = rm

tg(α) = m/2r

vagyis

m=2r*tg(α)

P = r*2r*tg(α)

r² = P/2tg(α)

r = √(P/2tg(α))

m=2r tg(α) = 2√(P/2tg(α)) *tg(α) = √(2Ptg(α))

V= r²Πm = P/2tg(α) * Π * √(2P*tg(α))

V= Π * P * √(P/2tg(α))

A tengelymetszet egy téglalap, amelyet az alapkörök átmérői és magasságok határolnak, ezért a kerülete P=2d+2m=4r+2m.

m/2r=tgα, ebből m=2r*tgα. Így P=4r+4r*tgα=4r*(1+tgα). r-re rendezve: r=P/[4*(1+tgα)]. m=2r*tgα=(2P*tgα)/[4*(1+tgα)].

V=r^2*pi*m=(pi*P^2*2P*tgα)/[16*(1+tgα)^2]=(2*pi*P^3*tgα)/[16*(1+tgα)^2]. Bocsi, ha nem tudsz kiigazodni rajta :)

"A tengelymetszet szerintem attól tengelymetszet, hogy benne fekszik a henger tengelye. Vagyis a henger tengelymetszete mindíg téglalap."

Igaz, ez nem esett le, és az átló alfa szöggel "emelkedik".