Eldöntendő irracionális számos kérdés. Igaz-e?

Ezt talán úgy lehetne megfogni, hogy az n-nél kisebb elemek száma a két sorozatban: [n/(X+1)] + [n/(Y+1)]

n/(X+1) = n/(X+XY)=n/(X(Y+1))=n/((Y+1)X)

[n/(X+1)] + [n/(Y+1)] < n/(X+1) + n/(Y+1) = n/(X+1) +nX/(X+1) =(1+X)n/(X+1) = n

a másik oldalról:

(X+1) és (Y+1) közül legalább az egyik nagyobb 1-nél,

indukciós bizonyítással tegyük fel, hogy n-1-ig legalább n-2 eleme van a két sorozatnak. Ekkor n-re igaz:

[n/(X+1)] + [n/(Y+1)] = [(n-1)/(X+1) + 1/(X+1)] + [(n-1)/(Y+1)+ 1/(Y+1)] ≥ [(n-1)/(X+1)] + [1/(X+1)] + [(n-1)/(Y+1)] + [1/(Y+1)] ≥ n-2 + [1/(X+1)] + [1/(Y+1)]=n-1

Vagyis n-ig legalább n-1 de kevesebb mint n eleme van a két sorozatnak együtt.

Nézd át jól a bizonyítást, lenyegileg ilyen egészrészes megoldással lehet az ilyesmit megfogni, de ettől még lehet, hogy valahol valami esetleg kicsit macerásabb mint ahogy ezt itt leírtam. A részletek, hogy hol van > hol ≥ az egy fontos pont az egész számolasban.

OK, most látom, hogy a kérdésre igazából nem is válaszoltam.

Szóval a fenti gondolatmenet szerint a válasz az, hogy igen, két szomszédos egész szám között a két sorozatnak összesen egy eleme lehet.

Ja és a [] jelölés egesz részt jelent. Korszerű megofgalmazásban az alsó egész részt.

Az egész emlékeztet valamire. Valamilyen kiegészítő sorozatok vagy valami hasonló. Na hosszas keresgélé után megtaláltam mi lehet:

[link]

ehhez van valahogy valami köze, illetve ha jól látom akkor ez a sorozat itt a feladatban egy speciális Beatty sorozat:

1/(X+1) + 1/(Y+1) = 1/(X+!) + X/(X+1) = (X+1)/(X+1) = 1

Vagyis a wikipedia cikkben szereplő r és s szerepét az (X+1) és (Y+1) számok kapják meg.