Egy exponenciális egyenletben szorzattá lehet alakítani egy számot?

Akkor már érdemesebb esetleg úgy felírni,

hogy 10*3^4

Zárójelbe kell tenni, hogy egyértelmű legyen, mi van a kitevőben:

9^(x+1) + 3^(x+2) = 810

9·9^x + 3²·3^x = 9·90

9^x + 3^x = 90

3^(2x) + 3^x = 90

3^x·(3^x + 1) = 9·10 = 9·(9+1)

3^x = 9

x = 2

Vagy a közepétől máshogy, ha nem ugrik be ez a trükk:

9^x + 3^x = 90

(3^x)² + 3^x = 90

Legyen z = 3^x:

z² + z - 90 = 0

A megoldóképletből:

z₁₂ = (-1 ±√(1+4·90))/2

z₁ = (-1 + 19)/2 = 9

z₂ = (-1 - 19)/2 = -10

Visszatérve x-re:

a) 3^x = 9       →       x = 2

b) 3^x = -10, ennek nincs megoldása.

9^(x+1) + 3^(x+2) = 810

Na itt az lenne a lényeg, hogy 9=3²

vagyis itt majd egy másodfokú egyenletet kell megoldanod valójában, az egyik tagból 3^xjellegű dolog lesz, a másikból meg (3^x)^2 jellegű, az egyik a másik négyzete, vagyis másodfokú egyenletet fog kelleni megoldanod.

átalakítva:

3^(2x+2) + 3^(x+2) = 810

9*(3^x)^2 + 9*(3^x) - 810 = 0

Ezt lehet egyszerűsíteni, de akár innen is számíthatod másodfokú megoldóképlettel:

3^x = (-9 ± √(81-4*9*810) )/18 = (-1 ±19)/2

Vagy ha inkább a szorzattá írást szereted:

9*(3^x - 9)(3^x + 10) = 0

negatív szám nyilván nem lehet a 3^x vagyis csak a pozitív gyök az érdekes:

3^x=9

vagyis x=2.