Két pozitív egész szám közül az egyiknek két, a másiknak pedig öt osztója van. Hány osztója van a két szám szorzatának?

Ez nem egyértelmű.

2 osztójuk a prímeknek van.

Páratlan számú osztójuk a négyzetszámoknak.

De például 16 (5 osztó) x 2 (2 osztó) = 32 (6 osztó: 1, 2, 4, 8, 16, 32)

Viszont 16 x 5 = 80 (8 osztó: 1, 2, 4, 8, 10, 20, 40, 80)

Bocs, kimaradt az 5 és 16, mint a 80 osztója.

A lényegen nem változtat.

Ha egyértelműen nem is oldható meg, azt be lehet látni, hogy a fenti két eseten kívül (6 vagy 10 osztó) más nem lehetséges.

Ehhez csak azt kell tudni, hogy egy szám pozitív osztóinak száma (x+1)(y+1)(z+1)..., ahol x,y,z,... a prímtényezős felbontásban szereplő kitevők.

Ha az egyik számnak (legyen ez "a") két osztója van, akkor világos, hogy prímszám.

Ha a másik számnak (legyen ez "b") öt osztója van, akkor a prímtényezős felbontásban szereplő kitevőkhöz egyet adva és összeszorozva őket, 5-öt kapunk. 5-öt szorzatként csak 1*5-ként írhatjuk fel, ami azt jelenti, hogy b felbontásában egyetlen prímtényező szerepel, a negyedik hatványon.

Tehát a=p, b=q^4, ahol p és q prímszámok.

Két eset van aszerint, hogy p=q vagy nem.

Ha p=q, akkor ab=p^5, így az osztók száma 6.

Ha p nem q, akkor ab=pq^4, ez ab prímtényezős felbontása. Így az osztók száma (1+1)(4+1)=10.