Mennyi ∫ 0-tol 1/2-ig 1/ (x*lnx)?

Az integrál LN(LN(x)) megváltozásáról szólna, de az integrandus értelmezési tartománya: ]1,+végtelen[.

Ebből az következik, hogy az integrálnak nincs értelme, még lenne ]1,1+1/2]-nél, de akkor is csak divergens lenne.

[3/2,2] között pedig -LN(

Legyen z = ln x

x = e^z

dx/dz = e^z

vagyis

dx = e^z·dz

∫1/(e^z · z) ·e^z·dz = ∫1/z dz = ln z

Vagyis az eredetinek a primitív függvénye ln(ln x).

Gondot okoz, hogy 1-nél kisebb x-ekre ez nincs értelmezve! Viszont a határozatlan integrál két ilyennek a különbsége. Ha x₁-től x₂-ig megy az integrál:

ln(ln x₂) - ln(ln x₁) = ln( ln(x₂) / ln(x₁) )

Itt már nincs gond azzal, ha az x-ek 1-nél kisebbek. Ugyanis mindkét lnx negatív, a hányadosuk pozitív, és annak már van logaritmusa.

0 még mindig nem lehet az x, de számítsunk határértéket:

lim ln( ln(1/2) / ln(x) )

x→0

lnx -∞-hez tart, ezért ln(1/2)/ln(x) +0-hoz tart, annak a logaritmusa meg -∞-hez tart. Vagyis a válasz -∞.