Határozza meg a szabályos tízszög körülírható körének sugarát és kerületét ha a beírható kör sugara 5 cm?

Szabályos tízszög felbontható tíz egyenlő szárú háromszögre.

A beírható kör sugara megegyezik az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magasságával.

Egy egyenlő szárú háromszög két szára által bezárt szög 36 fok, amit a magasság felez. Az egyenlő szárú háromszögek alaphoz tartozó szögei 72, 72 fokos, a szárak által bezárt szög 36 fokos.

A magasság felezi az egyenlő szárú háromszöget, így olyan derékszögű háromszöget kapsz, melyben az egyik befogó és a belső szögek ismertek (90,18,72), tehát szinusz-tétellel kiszámolható a tízszög egy oldala:

a=(5/sin72)*sin18*2 = 3,2492 (megközelítőleg)

A tízszög területe az egyenlő szárú háromszögek területösszegével egyezik meg:

10*[(a*ma)/2] = 5*a*ma = 5*5*3,2492 = 81,2299 (megközelítőleg)

Körülírható körének sugara pitagorasz tétellel kiszámolható, ahol a derékszögű háromszög átfogója a kérdéses, a két befogó értéke r=ma=5 és a/2 = 1,6246 (megközelítőleg).

R = √(5²+1,6246²) = 5,2573 (megközelítőleg)

Területe: 81,3 cm²; köré irható körének sugara: 5,26 cm