Derékszögű háromszög beírt körének a sugara 3 cm. Az átfogó 8 cm. Mekkora a háromszög kerülete, területe, oldalai?

Biztos jól írtad le a kérdést?

A feladatnak ugyanis ilyen adatokkal nincs megoldása!

Akkor lenne, ha a

c/2r > √2 + 1

feltétel teljesülne.

DeeDee

**********

Hiba van a feltételben!

Helyesen:

c/2r ≥ √2 + 1

DeeDee

**********

Adatok híján az általános megoldás

Legyen

r - a beírt kör sugara

c - a háromszög átfogója

K - kerület = ?

T - a terület = ?

a, b - a két befogó = ?

Célszerű egy rajzot készíteni a feladathoz.

A kerület

A derékszögű háromszögben érvényes a következő összefüggés:

c = a + b - 2r

Átrendezve

c + 2r = a + b

Ha mindkét oldalhoz hozzáadunk 'c'-t,

2c + 2r = a + b + c

akkor a jobb oldalon megjelenik a kerület!

Vagyis

K = 2(c + r)

=========

A terület

Az ismert összefüggés szerint

T = r*s

ahol

s = K/2 - a fél kerület.

A kerületre az előzőkben kapott képletből

s = c + r

ezzel a terület

T = r(c + r)

========

A befogók

Ezek meghatározásához keríteni kell két egyenletet, melyekben a két keresett változó szerepel.

Az egyik az elsőnek alkalmazott, a háromszög oldalai és a sugár közti összefüggésből adódik

c = a + b - 2r

ebből

a + b = c + 2r

A másik a terület felhasználásával kapható.

A háromszög területe felírható

T = a*b/2

formában is. Ezt egyenlővé téve a fentebb kapott összefüggéssel

a*b/2 = r(c + r)

Mindkét oldalt 2-vel szorozva

a*b = 2r(c + r)

adódik.

Vagyis a két keresett egyenlet

a + b = c + 2r

a*b = 2r(c + r)

Azt elsőből valamelyik változót kifejezve, majd a másodikba behelyettesítve egy másodfokú egyenlet adódik. A levezetés mellőzésével ez a következő:

0 = a² - a(c + 2r) + 2r(c + r)

A megoldás többféle formában kihozható, most azt a változatot írom le, amelyik módot ad a megoldhatóság eldöntésére.

A

q = c/2r

helyettesítést bevezetve a zárt formájú általános megoldás:

a1,2 = r[(q + 1) ± √[(q - 1)² - 2]

Mivel nem tettünk különbséget a befogók közt, a két gyök a két befogót adja.

Így a hosszabbik befogó

b = r[(q + 1) + √[(q - 1)² - 2]

====================

a rövidebbik pedig

a = r[(q + 1) - √[(q - 1)² - 2]

====================

A megoldhatóságot a diszkrimináns dönti el. Látható, hogy akkor van megoldása a feladatnak, ha a diszkrimináns

D ≥ 0

vagyis

(q - 1)² - 2 ≥ 0

átrendezve

(q - 1)² ≥ 2

Mindkét oldalból gyököt vonva

q - 1 ≥ √2

átrendezve

q ≥ √2 + 1

========

ahol

q = c/2r

Mivel

c = 2R

q = R/r

értékekkel is kifejezhető,ahol

R - a háromszög köré írható kör sugara.

Ha kérdés van, állok elejbe. :-)

DeeDee

********