Ezeket hogyan kell megoldani?

1.

A "legrosszabb" esetet kell nézni.

- "bármelyik 12 tanuló között van legalább 2 leány"

Legrosszabb: ha megpróbálunk csupa fiút választani, nem tudunk 10-nél többet, ezért lesz 2 lány. Vagyis 10 fiú van.

- "bármelyik 20 tanuló között van legalább 3 fiú"

Legrosszabb: csupa lányokat próbálunk összeszedni, de nem tudunk, csak 17-et. Ezért lesz 3 fiú. Vagyis 17 lány van.

10+17 = 27 az osztálylétszám.

2.

Kezdjük el:

1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, stb.

Vagyis ez a hármas ismétlődik: 1, -1, -1

2000 = 666·3 + 2

A 666 hármasban van 666 pozitív 1-es, a maradék két szám meg 1 és -1, abban is van még egy.

3.

Rakjuk nagyság szerint sorba a pálcikákat.

Akkor nem lehet három pálcikából háromszöget csinálni, ha a 2 kisebbik oldal összege kisebb, mint a harmadik. (Ez a háromszög-egyenlőtlenség.) Vagyis nagyság szerint sorbarakva bármelyik két szomszédos összege kisebb kell legyen, mint a nagyobbik szomszédjuk.

Mivel a nyolcadikot a legrövidebbre kell csinálni, ezért az elsők is minél kisebbek kellenek legyenek, illetve az n+2-edik szélessége ez lesz:

X(n+2) = X(n) + X(n+1) + 1

A hosszak tehát ezek lesznek:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41

4.

Az n-szög külső szögeinek összege 360°, tehát egy külső szöge 360°/n. A belső ennyi:

180° - 360°/n

Ez persze akkor egész, ha 360°/n egész.

360-nak az osztóit kell tehát felírni.

360 = 2³·3²·5

Az osztóinak a száma (2+1)·(3+1)·(1+1) = 24. Viszont, az 1 és a 2 nem jó sokszögnek, ezért 22 marad.

5.

Nézzük a 9-cel és az 5-tel való oszthatóságot.

5-tel osztva a maradék 4. Vagyis a szám N = 5n+4

9-cel osztva:

123456789: a számjegyek összege 10·9/2 = 45

10111213...19: a számjegyek összege 10·1 + 45

20212223...29: a számjegyek összege 10·2 + 45

a harmincasoknál 10·3+45

a vége: 4041424344: 5·4+ 5·4/2 = 30

Összesen 4·45 + 10·6 + 30 = 2·90 + 90

Vagyis a szám osztható 9-cel!

Ez azt is jelenti, hogy a 45-tel vett maradéka is osztható 9-cel! (Hisz N = 45j+m = 9·5j+m, tehát m is osztható 9-cel.)

A szám tehát egyrészt 9k, másrészt 5n+4

N = 9k = 5n+4

9(k-1) + 9 = 5n + 4

9(k-1) = 5n-5

9(k-1) = 5(n-1)

a bal oldal is osztható kell legyen 5-tel, tehát k-1 = 5j

k = 5j+1

N = 9k = 9(5j+1)

N = 45j + 9

Vagyis 45-tel osztva a maradék 9 lesz.

6.

3 ember közül így lehet, hogy egyik se kapja a sajátját:

B, C, A

C, A, B

(első nem lehet A, második nem lehet B, harmadik nem lehet C)

Ez kétféle.

A negyediket, akinek jót ad, négyféleképpen választhatja, tehát 4·2 = 8 lehetősége van.

A 3.-at elrontottam. Valaki írta nekem, hogy van jobb megoldás is, és igaza van. Hiszen nem kell, hogy a két kisebbik összege kisebb legyen a legnagyobbnál, elég az is, ha pont ugyanakkora, már akkor se lesz belőle háromszög.

X(n+2) = X(n) + X(n+1)

Szóval ilyenek a pálcák:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21