Trigonometrikus egyenletek? Hogyan kell megoldani?

a)

α = 2x + π/2

cos²α akkor 1, ha cos α = ±1

Az pedig akkor van, ha α = 0 + k·π (ahol k ∈ ℤ)

Vagyis a megoldás:

2x + π/2 = kπ

2x = -π/2 + kπ

x = -π/4 + k·π/2

b)

Csináljunk a szinuszból koszinuszt: sin²x = 1-cos²x

2 - 2cos²x + 5cosx - 4 = 0

2cos²x - 5cosx + 2 = 0

Ez a cosx-nek másodfokú függvénye. A megoldóképlet szerint a megoldás:

cosx = (5 ± √(25-16))/4 = (5 ± 3)/4

1) cosx = 2 → ez nem megoldás

2) cosx = 1/2 → ez lehet

A 60°-nak vagyis π/3-nak a koszinusza az 1/2. Ezért ezek a megoldások:

x₁ = π/3 + 2kπ

x₂ = -π/3 + 2kπ

Ezt érted, hogy hogy jött ki?

(A lényeg, hogy ha cos α = cos β, akkor ez egyrészt akkor lehet, ha α=β+2kπ, valamint akkor, ha α=-β+2kπ)

3)

tg α = tg β

Ez akkor lehet, ha α=β+kπ. Vagyis:

7x - π/3 = 3x + 5π/3 + kπ

4x = 6π/3 + kπ

Mivel 6π/3 = 2π, és 2π+kπ ugyanaz, mint kπ (csak más lenne a k, de az úgyis bármilyen egész szám lehet), ezért:

4x = kπ

x = kπ/4