Mekkora a maximális térfogata annak a kúp alakú tölcsérnek, amit úgy kapunk, hogy egy 34 cm átmérőjű körlemezből valamekkora körcikket kivágunk és a lemezt hajlítva a vágási vonalakat összeragasztjuk?

"valamekkora körcikket kivágunk"

Hogy mekkora részt vágunk ki, ezt legjobb a középponti szöggel megadni, és ennek függvényében felírni a sugarat, majd a térfogatot. Itt van hasonló példa:

[link]

Ha nem menne, szóljál!

A teljes megoldás itt van:

[link]

Szerintem egyszerűbb a kész kúpból kiindulni.

Legyen

a - a kúp alkotójának hossza

α - a félkúpszög

r - az alapkör sugara

φ = ? - a kúpalkotó kiterítési szöge

A térfogat

V = r²π*m/3 = (π/3)*r²*m

Az alapkör sugara

r = a*sinα

A kúp magassága

m = a*cosα

Ezekkel a térfogat

V = (π/3)*a²sin²α*a*cosα

V = [(π/3)*a³]*sin²α*cosα

A szögletes zárójelben levő mennyiség konstans, ezért írható

V = k*sin²α*cosα

Deriválás után meghatározható az α értéke (kifejezése)

V' = k(2sinα*cos²α - sin³α)

V' = 0

ebből

cosα = √3/3

és

sinα = √2/√3

~~~~~~~~~

A félkúpszög és a kiterítés szöge közti összefüggés

Az alapkör kerülete és a kiterítés ívhossza egyenlő, tehát

2rπ = a*φ

ebből

φ = 2rπ/a = 2π(r/a)

A zárójelben levő mennyiség sinα, ezért

φ = 2π*sinα

~~~~~~~~~

A fentebb kapott sinα értéket behelyettesítve megvan a keresett kiterítési szög.

φ = (2π*√2)/√3

ami

φ ≈ 5,130... rad

φ ≈ 293,938...°

============

Remélem, nem rontottam el. :-)

DeeDee

**********

A végére elfelejtettem, hogy a térfogat a kérdés, és nem a kiterítés szöge. :-)

A fenti térfogat képletbe

V = [(π/3)*a³]*sin²α*cosα

behelyettesítve

V = a³ (2π*√3/27)

V ≈ 1980,265... cm³

===============

természetesen ugyanaz, mint az előző válaszolónál.

DeeDee

**********

Hogy továbbra is elérhető legyen:

[link]