Matematika/Logika mi a megoldás?

Vagyis [x] az x egész része.

x = n + t

ahol n egész, t pedig x törtrésze

x² = n² + 2·n·t + t²

Érdemes t helyett egy bonyolultabbat bevezetni, hogy az x² egész részét majd viszonylag egyszerűen számolhassuk:

x = n + (k+y)/(2n)

ahol n és k egészek, (k+y)/(2n) < 1, ezért [x] = n

0 ≤ y < 1

0 ≤ k < 2n

x² = n² + 2·n·(k+y)/(2n) + ((k+y)/(2n))²

x² = n² + k + y + ((k+y)/(2n))²

ebből n²+k egész, a többi pedig egy kettőnél kisebb tört.

Az egész rész:

[x²] = n²+k + [y + ((k+y)/(2n))²]

Ez vagy n²+k, vagy n²+k+1

[x²]-[x]² = k + [y + ((k+y)/(2n))²]

Ez vagy k, vagy k+1, és persze = 2013

Vagyis k=2013, vagy k+1=2013

x akkor a kisebb, ha k=2012, nem pedig 2013.                                           k = 2012

Vagyis [y + ((k+y)/(2n))²] = 1 kell legyen.

Tehát y + (2012+y)²/(4n²) ≥ 1

k<2n, ezért n > 1006

x akkor a legkisebb, ha n = 1007                                                                  n = 1007

y + ((2012+y)/2014)² ≥ 1

x akkor a legkisebb, ha y a lehető legkisebb, vagyis az egyenlőség áll fenn:

y + ((2012+y)/(2014))² = 1

2014²·y + 2012² + 2·2012·y + y² = 2014²

y² + (2014²+2·2012)·y + (2012² − 2014²) = 0

Ennek a pozitív gyöke:

y = -2030110+2014·√(1016062)                                                               y ≈ 0.0019831

(megjegyzés: a diszkriminánsban a 4·2012² kiesik, ezért 2014² kiemelhető belőle, kivittem a gyök elé)

Vagyis:

x = 1007 + (2012 - 2030110 +2014·√(1016062))/2014

x = 1007 − 2028098/2014 + √(1016062)

A középső tört éppen 1007 !

x = √(1016062)

----------

Megjegyzés: Bizonyára van más, valószínű egyszerűbb megoldás is, mert ez a gyök így is felírható:

x = √(1007² + 2013)