Valaki elmagyarázza a matekot? Egy feladatot nem értek.9. osztály

Az, hogy hány prímtényezőre bontható egy szám, már eleve "nem kiszámítható", nem függvény. Az ebből képzett számról miért várnád el, hogy megfordítható (kölcsönösen egyértelmű) függvény legyen.

Ebben a témában itt van egy szép feladat: 2012/6

[link]

Ha érdekel, egy hozzászólást ahhoz is csináltam, azt is megnézheted ott.

A megoldásnál most azt lehet kihasználni, hogy az osztók száma, vagyis a (k+1)(m+1)...(n+1) szorzat prím (hiszen a 7 prímszám). Ez viszont azt jelenti, egyetlen egy tényezőből áll ez a szorzat! Vagyis az eredeti szám egy prímnek a hatodik hatványa. Pl. 2⁶, 3⁶, 5⁶, 7⁶, 11⁶, stb. Kellene még valami információ, hogy leszűkítsük a kört egyetlen egy számra.

Mondjuk ha tudnánk pl azt, hogy páros, akkor már tuti, hogy az n=2⁶ lenne a megoldás.

Az órai példából az látszik, hogy az a plusz információ, amiről én beszéltem, az az, hogy a legkisebb ilyen számot kerestétek.

Vagyis d(n)=7 esetén így a megoldás n=2⁶

Azt érted most már, hogy az órán miért úgy csináltátok?

Nem úgy van.

Ha ragaszkodsz a P1 meg P2-höz, akkor így van:

d(n)=7--->1*7 = ...

Ez nem egyenlő a prímhatványok szorzatával! Felül jól írod, hogy hogyan kell kiszámolni a szorzók számát, azt a mondatot olvasd el megint, amit te írtál...

Szóval ezzel egyenlő:

= (0+1)(6+1)

Vagyis P1 hatványkitevője 0, P2-é meg 6.

Az n szám pedig ezeknek a szorzata, nem 1-nek meg 7-nek:

n = P1(a nulladikon)*P2(a hatodikon)

Lehet, hogy ezt fentebb mind tudtad, csak éppen hanyagul írtad az egyenlőséget...

A folytatás pedig: Ez az n szám akkor a legkisebb, ha P2=2, hisz ez a legkisebb prímszám. Vagyis n = 2^6 = 64

---

Azért írtam, hogy "ha ragaszkodsz a P1 meg P2-höz", mert valójában nem kell olyan minden feladatnál, csak akkor, ha két hatványkitevő van. Most viszont mivel a 7 prímszám, ezért csak egy lesz, a 6.

Gondolj bele abba, hogy miért kellene pont két prímszám, amikor lehetne akár 5 is, hisz 7 = 1·1·1·1·7 = (0+1)(0+1)(0+1)(0+1)(6+1)

Ekkor a szám ez lenne:

n = P1^0·P2^0·P3^0·P4^0·P5^6

Persze ez is csak P5^6, hisz a többi az mind 1, simán elhagyhatjuk a szorzásból.

Ha viszont mondjuk d(n)=30, akkor nem elég két prímszám, három kell:

d(n) = 30 = 2·3·5

Ennek sok megoldása lehet:

a) n = P1^(2-1)·P2^(3-1)·P3^(5-1)

b) n = P1^(2·3-1)·P2^(5-1)

c) n = P1^(2-1)·P2^(3·5-1)

d) n = P1^(2·5-1)·P2^(3-1)

e) n = P1^(2·3·5-1)

Mind az 5-féle számnak pont 30 osztója van. Persze ez nem 5 darab szám, hisz a Px számok bármilyen prímek lehetnek. Szóval ez eddig végtelen sok megoldás.

Ha a feladat az, hogy a legkisebb megoldást keressük, akkor az egyes esetekben ez a legkisebb:

a) n = 5^(2-1)·3^(3-1)·2^(5-1) = 720

b) n = 3^(2·3-1)·2^(5-1) = 3888

c) n = 3^(2-1)·2^(3·5-1) = 49152

d) n = 2^(2·5-1)·3^(3-1) = 4608

e) n = 2^(2·3·5-1) = baromi sok

Ezek közül a legkisebb az lett, amikor a legtöbb prímet használtuk fel. Szóval n=720 a megoldás.