Matematika feladat, függvények (? )

Nézzük pl. ezt:

x=y=z=0

Ekkor

f(0)+f(0)+f(0) = f(0)·f(0)·f(0)

3·f(0) = f(0)³

3 = f(0)²

f(0) = √3 vagy -√3

Ez viszont nem racionális szám, úgyhogy valami nem stimmel.

Az rendben, de nem lehet az értelmezési tartománya az egészek halmaza, mert látszik, hogy a 0 nem jó.

Azért gondolkodom még rajta...

Jaj, de hülye hibát csináltam... f(0)-val osztottam, és nem néztem, mi van, ha nulla.

Szóval f(0) = 0 is megoldás, és ez az egyetlen racionális lehetőség, szóval ez lesz az.

Gondolkodom tovább...

1)

x + (-x) + 0 = 0, vagyis erre a három számra is igaz kell legyen az összefüggés:

f(x)+f(-x)+f(0) = f(x)·f(-x)·f(0)

Mivel f(0) = 0:

f(x)+f(-x) = 0

f(x) = -f(-x)

Ez pedig azt jelenti, hogy az f(x) függvény páratlan, tehát középpontosan szimmetrikus az origóra.

2)

Bármely olyan függvény jó, amire f(0)=0 és origóra szimmetrikus. pl:

f(x) = x

f(x) = x³

f(x) = x³ + x/3

stb.

OK, Bogolo bizonyította ha jól látom, hogy f(0)=0.

Rögzítsük: y=0

Ekkor x+z=0

f(x) + f(-x) = 0

f(x) = - f(-x)

Vagyis az origóra szimmetrikus a fűggvény (páratlan függvény).

ha y=x, z=-2x

f(x)+f(-x)+f(-2x) = f(x)f(-x)f(-2x)

-f(2x)=f(x)²f(2x)

Egy példa lehet az azonosan 0 fűggvény.

Namost ha ez nem az azonosan 0 függvény páros számokra, akkor van olyan x amire f(2x) nem 0. Ilyenkor lehet f(x)-szel osztani:

-1=f(x)² ami lehetetlen, vagyis akkor

páros számok esetén f(x)=0

f(2k+1) + f(2k-1) + f(-4k) = f(2k+1) * f(2k-1) * f(-4k)

Viszont 4k az páros, vagyis f(4k)=0

f(2k+1)+f(2k-1) = 0

Vagyis a páratlan számokon alternáló előjellel ugyanakkora abszulút értékben jőnnek a számok egymás után.

Tehát kétféle függvényünk lehet:

f(2k+1) = (-1)^k*a

f(2k)=0

és ennek a -1-szerese.

Ha mind x, y, z páros, akkor nyilván ez egy jó függvény.

Ha valamelyik páratlan akkor 2 kell hgy páratlan legyen, máshogy nem lenne az összegük 0.

Mondjuk x=2m+1, y=2n+1 és z = -2m-2n

itt m is és n is páros egész (lehet negatív is)

f(x)+f(y)+f(z) = -1^m*a+-1^n*a+0=a*(-1^m + -1^n)

f(x)f(y)f(z) = 0

Tehát ez az egész csak akkor fog így működni, ha m és n paritása különbözik, vagy ha a=0.

Ugyanígy a függvény -1-szeresére.

Vagyis akkor csak az f(x)=0 függvény megoldás.