Erre a paraméteres másodfokú függvényre mik a megoldások?

A baloldalt x függvényének egy b paramétertől álló függvénye áll. A feladat meghatározni a függyvény gyökeinek számát b függvényében.

Teljes négyzetté alakítással:

2x^2+2bx+b+4=2(x + 1/2 b)^2 - 1/2 b^2 + b + 4

Mivel minden valós szám négyzete nem negatív:

2(x^2+1/2 b)^2 - 1/2 b^2 + b + 4 legalább akkora, mint - 1/2 b^2 + b + 4. Ez az egyenlőtlenség éles, mert az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha x=-b/2.

Ezért, ha -b/2+b+4=0, akkor az egyenletnek egy gyöke van, történetesen -b/2. Már az is látszik, hogy, ha -1/2 b^2 + b + 4 > 0, akkor az egyenletnek nem lehet gyöke. Azt az egy esetet kell megvizsgálnunk tehát, ha -1/2 b^2 + b + 4<0. Ekkor a baloldalt álló függvény -b/2 helyen negatív, előtte ill. utána szigorúan fogyó ill. növő, mitöbb, határértéke - és + végtelenben egyaránt + végtelen, amiért is, a Bolzano-lemma szerint, van egyetlen egy -b/2-nél kisebb, és egyetlenegy -b/2-nél nagyobb gyöke a baloldalt álló függvénynek. tekintve, hogy -b/2 ez esetben nem gyök, összesen két gyök-e van most a vizsgált függvénynek. Nincs más hátra, mint megállapítani -1/2 b^2 + b + 4 mikor negatív, mikor pozitív, és mikor nulla:

-1/2 b^2 + b + 4=-1/2(b^2 - 2b - 8)=-1/2(b-4)(b+2)

Ez a szorzat pontosan akkor 0, ha b=4 vagy b=-2.

Ha b<-2, akkor három tényező negatív, tehát a szorzat is negatív, ha b -2 és 4 között van, két tényező negatív, így a szorzat pozitív, ha pedig b nagyobb négynél, akkor mindössze egy tényező negatív tehát, a szorzat ismét negatív. Innen már levonhatók a szükséges consequentia-k.