Hogyan kell komplex számokból gyököt vonni?

Át kell írni trigonometrikus alakra:

http://www.youtube.com/watch?v=Q-WyhZeNUpg

Nem. Csak trigonometrikus alakból könnyebb gyököt vonni. (Algebrai alakból is lehet egyébként...)

Trigonometrikus alaknál van egy hossz és egy szög:

z = r·(cos φ + i·sin φ)

Ha ezt mondjuk négyzetre emeljük, akkor a hosszból r² lesz, a szögből pedig 2φ.

A gyökvonás meg a fordítottja, a hosszból √r lesz, a szögből pedig φ/2.

Ha pedig n-edik gyököt vonunk, ott a hossz ⁿ√r, a szög pedig φ/n.

Még egy csavar van a dologban: Ha mondjuk nézzük az r=1 hosszú és φ=180° szögű komplex számot (ez egyébként a z=-1 valós szám), annak a vektora a komplex síkon balra a -1-be mutat. Ugyanide mutat az is, aminek a szöge φ₂=180°+360°=540°, meg a φ₃=180°+2·360°=900°, φ₄=180°+3·360°=1260°, stb. Ezek mind lehetnek z=-1.

Vonjuk köbgyököt ebből a z=-1 számból. Bármelyik szöggel írjuk is, a hossza r=1, aminek a köbgyöke 1. A szögből pedig ez lesz:

φ₁ → 180°/3 = 60°

φ₂ → 540°/3 = 180°

φ₃ → 900°/3 = 300°

φ₄ → 1260°/3 = 420° = 360°+60°

Vagyis ebből a negyedikből már ugyanaz a vektor lett, mint az elsőből, a többiből is csak ezek valamelyike lenne. Tehát elég csak 3 szöggel csinálni a köbgyökvonást.

Tehát a ∛-1 -nek 3 megoldása van, amiből egyébként a második a -1, a másik kettő komplex.

Ha n-edik gyököt vonunk, akkor annak n darab eredménye lesz: (φ+k·360°)/n, ahol k=0,1,2,...,n-1