Lineáris algebra. Melyik a helyes válasz és miért?

1-es: B

A-nak két független oszlopa van, akkor a nagy mátrix első két oszlopa szintén független kell legyen, de a másik két oszlop meg ugyanaz, ezért az nem független.

A nagy mátrixnak 2 független oszlopa van, ezért a rangja 2.

3-as: C

B és D biztos igaz.

A rang 4: vagyis 4 független sora és oszlopa van, akkor invertálható

Diagonális mátrix mindig invertálható

Akkor invertálható, ha van bal oldali és jobb oldali inverze is.

Ha csak bal oldali van, akkor nem. De egy négyzetes mátrixnál, ha van bal oldali inverz, akkor az egyben jobb oldali is, vagyis invertálható.

A C válasz egy nagy hülyeség.

Az f-et sajnos nem tudom.

f)

φ egy lineáris leképzés ℝ^m-ből ℝ^n-be, m<n.

A dimenziótétellel lehet a válaszok közül választani: A megtér és a képtér dimenzióinak az összege egyenlő (jelen esetben) m-mel.

A) Nem igaz, hisz a képtér dimenziója kisebb kell legyen n-nél, mivel m<n

B) A magtér lehet üres halmaz, ilyenkor a képtér éppen m dimenziós. Tehát ez sem igaz. (Van olyan φ, amire igaz, de ez nem általános)

C) A képtér dimenziója ≤ m, ez igaz.

D) A leképzés nem lehet azonos a fordított irányú leképzéssel, mert m≠n, tehát nem igaz.

Az e)-nél a C nem lehet, hisz ha nem 0 a determináns, akkor invertálható a mátrix. (Itt a dupla tagadás zavarhatott be...)

A diagonizálhatóságot már teljesen elfelejtettem, de most megnéztem. Annak nincs semmi köze az inverzhez, pontosabban a diagonizáló mátrix invertálható (hisz az inverzével is szorzunk), de amit diagonizálunk, arról nincs semmi ilyesmi. Mármint én nem találtam semmit a diagonizálható mátrixok invertálhatóságáról, szóval nekem kizárásos alapon lenne D a válasz.