Hogy tudom megoldani ezt az algebrai feladatot?

További türelmet kérünk. Talán valamelyik kolléga már közeleg a megoldáshoz. Egyenlőre csak sejtés szintjén: a kapott f(a,c):=gyök(2-a^2)*gyök(3-c^2)+a*c kétváltozós függvényt kell megvizsgálni. f(gyök(2),-gyök(3))=-gyök(6) ill. f(-gyök(2),gyök(3))=-gyök(6). Azt kell bizonyítani, hogy ennél kisebb értéket nem vesz fel ez a függvény.

Sz. Gy.

A bizonyítás lényeges része az, hogy a gyökös kifejezés nemnegatív és mivel -gyök(2)<=a<=gyök(2) illetve

-gyök(3)<=c<=gyök(3) következik, hogy -gyök(6)<=a*c<f(a,c).

Sz. Gy.

Ez nekem így nem tűnik teljes értékű bizonyításnak.

Mivel a feltételekben a,b,c,d négyzeten szerepel, így tetszőlegesen megválasztható az előjelük.

Ha jól gondolom, az általánosság megsértése nélkül feltehető, hogy a és b nempozitív, c és d nemnegatív, ekkor két nem pozitív számot fogunk összeadni.

Ekkor

f(a,c):=-gyök(2-a^2)*gyök(3-c^2)+a*c

c nem negatív, a nempozitív.

És itt nem elég azzal érvelni, hogy a gyök nemnegatív.

Míg emögött a felírás mögött

f(a,c):=gyök(2-a^2)*gyök(3-c^2)+a*c

az van, hogy b és d egyszerre nemnegatív, ami egy olyan korlátozás, amit szerintem nem tehetünk meg ilyen egyszerűen.

Azt én is látom, hogy -gyök(6) a megoldás.

Inkább azzal próbálkoztam, hogy legyen a,b,c,d nemnegatív, és ekkor ac+bd maximumát keressük meg. Ezzel az előjel maceráktól megszabadulunk.

És a maximum -1 szerese kell legyen a minimum.

Végül maradt az, hogy lederiváltam a kétváltozás függvényt.

Nekem az jött ki, optimum feltételnek, hogy

a^2=2-2/3*d^2

Ha ebből maximumot akarok számolni, akkor feltehető, mint a,b,c,d nemnegatívak.

Ebből pedig az adódott, hogy bármely 0<=d<=gyök(3) mellett

d,

c=gyök(3-d^2),

a=gyök(2-2/3*d^2)

b=gyök(2-a^2)=gyök(2/3*d^2)

esetén az ac+bd értéke:

gyök(2-2/3*d^2)*gyök(3-d^2)+gyök(2/3*d^2)*d

Kiemelve gyök(2/3)-at:

gyök(2/3)*[gyök(3-d^2)*(3-d^2)+d^2)=gyök(2/3)*3=gyök(6)

Tehát bármely rögzített d-re elérhető a maximális érték (és ekkor a minimális is, a és d mínusz egyszeresét választva.)

És végül sokkal szebben:

szorozzuk be a 2. egyenletet 3/2-el

3/2*c^2+3/2*d^2=2

Legyen e=gyök(3/2)*c f =gyök(3/2)*d

[c=gyök(2/3)*e, és d=gyök(2/3)*f

Ekkor

a^2+b^2 = 2

e^2+f^2 = 2

és

ac+bd=a*gyök(2/3)*e+b*gyök(2/3)*f=gyök(3/2)*(ae+bf)

ae-ről meg tudom, hogy

a^2+e^2>=2ae (és akkor egyenlő, ha a=e)

bf-ről ugyanezt.

Összeadva a két feltételt

a^2+b^2+e^2+f^2=4

4>=2(ae+bf)

2>=(ae+bf)

ac+bd<=gyök(3/2)*2=gyök(6)

Egyenlőség akkor van, ha

a=e és b=f.

Vagyis

Tetszőleges 'a' mellett

b=gyök(2-a^2)

e=a

f=gyök(2-a^2)

esetén a maximum gyök(6).

Megjegyzés: ha az elején nem írjuk át, akkor ez lesz:

a^2+c^2>=2ac

b^2+d^2>=2bd

Akkor

(a^2+c^2+b^2+d^2)>=2*(ac+bd)

5/2>=ac+bd

De ezt nem fogja felvenni.

a=c és b=d kéne, ami nem teljesülhet.

És ezért kellett úgy átalakítani, hogy a=e és b=f teljesülhessen egyszerre.