F. Ntos lenne. Mi a deriváltja? F (x) = (x^3 +2) ^5 Levezetéssel, pls!

Úgy, hogy először a külső függvényt deriválod le. Ez a sinus függvény, amelynek a deriváltja a cosinus. Innen a cos(4x). Utána a belső függvényt, a 4x-et kell deriválni, amelynek az értéke 4. Tehát:

sin(4x)'=cos(4x)*(4x)'=4*cos(4x)

Ugyanúgy megy az is, mint ez az eredeti kérdés. Ezek összetett függvények. Jelölik úgy is, hogy f∘g, vagy úgy is, hogy f(g(x)). Az első az elég absztrakt jelölés, az utóbbi egyszerűbb. f a külső függvény, g a belső. És szoktuk úgy is jelölni, hogy f(y) valamint g(x), szerintem ez a legérthetőbb. Ilyenkor y = g(x).

Az eredeti kérdésnél f(y) = y⁵ és y = g(x) = x³+2

A mostani kérdésnél f(y) = sin(y), y = g(x) = 4x

Az összetett függvényeket úgy kell deriválni, hogy deriválod a külsőt is meg a belsőt is, és összeszorzod.

Az eredeti kérdésnél:

f(y) = y⁵ → f'(y) = 5·y⁴

és mivel y=x³+2, ezért f' = 5(x³+2)⁴

g(x) = x³+2 → g'(x) = 3x²

Vagyis a teljes F(x) deriváltja:

F'(x) = f'·g' = 5(x³+2)⁴·3x²

A második kérdésednél:

f(y) = sin(y) → f'(y) = cos(y) → f' = cos(4x)

g(x) = 4x → g'(x) = 4

ezért sin(4x) deriváltja cos(4x)·4

--

Összetett függvény lehet akármilyen "mély" is, ilyenkor ugyanezt a szabályt (láncszabály a neve) kell egymás után alkalmazni.

Pl.:

F(x) = (sin(4x)+2)²

Jelölés: F = f∘g∘h vagy F = f(g(h(x)))

f(z) = z²           ahol z = sin(4x)+2

g(y) = sin(y)    ahol y = 4x

h(x) = 4x

f' = 2z = 2(sin(4x)+2)

g' = cos(y) = cos(4x)

h' = 4

--

F' = f'·g'·h' = 2(sin(4x)+2)·cos(4x)·4

Megjegyzés: (nem muszáj elolvasnod...)

Ahogy az f' g' stb. írtam, az kicsit pongyola volt, matematikusok nem pont így írnák. Az, hogy f'(y)=cos(y), az még teljesen rendben van, de amikor az y-t visszaalakítottam x-re, akkor már nem azt kellett volna írni, hogy f' = cos(4x), hanem úgy, hogy f'∘g = cos(4x). Azért, mert ez a cos(4x) nem a teljes f(x)-nek a deriváltja... de nem baj, ha most ez még érthetetlennek tűnik neked, akkor felejtsd el :)