Matek házifeladat?

Valószínű elírtad, az első logaritmus is 13-as alapú logaritmusa az a-nak, és nem fordítva.

Mennyit tudsz a logaritmusról? Itt ezek az azonosságok kellenek: (tetszőleges alappal)

log(a) + log(b) = log(a·b)

a·log(b) = log(b^a) [b az a-adikon]

és az alapok közötti átváltás:

log_a(b) = log_c(b)/log_c(a)

log_169(b) = log_13(b)/log_13(169)

és mivel 169 = 13²:

log_169(b) = log_13(b)/2 = log_13(√b)

(Meg lehet ezt az azonosságot is tanulni: log_a²(b) = log_a(√b). Én már elfelejtettem, de kijön a többiből. Érettségire biztos jó megtanulni :))

Ja, persze azt is kellett tudni, hogy x^(1/2) = √x

Na szóval:

1/2·log_13(a) = log_13(√a)

log_169(b) = log_13(√b)

és

log_13(√a)+log_13(√b)+log_13(√c) = log_13(√(a·b·c))

És persze tudni kell a logaritmus definícióját is:

log_a(b) = c azt jelenti, hogy a^c = b

Most:

log_13(√(a·b·c)) = 1

→ √(a·b·c) = 13

a·b·c = 13²

--

Ennyi volt a logaritmusos része, innen már oszthatóság.

a,b és c ugyanis egész számok. A szorzatuk akkor lehet 13² (ahol 13 prímszám), ha

a)

a=13, b=13, c=1 (vagy fordítva valahogy)

b)

a=169, b=1, c=1 (vagy fordítva valahogy)

A felszínt ezekből már ki lehet számolni kétféleképpen, a térfogatot meg tudjuk, hogy 169, most már minden kijön.