Határozzuk meg az α/ (α − 3) -t? (Kiss Emil: 1.6.15. )

Ha jól emlékszem, ennek az n-edfokú algebrai testbővítésnek minden eleme előáll

a_0 + a_1*alfa + a_2*alfa^2 +...+a_(n-1)*alfa^(n-1) alakban

emiatt keresi ilyen alakban azt a testbővítésbeli α/ (α − 3) elemet.

Nos, felírja tehát, hogy:

α/(α − 3) = a + bα + cα^2

Itt szoroz "keresztbe" (α − 3)-mal.

Ekkor ez lesz:

α = (α − 3)*(a + bα + cα^2)

Felbontja a jobboldali zárójelet, majd az α-t is átviszi a baloldalról, "nullára redukálunk":

0=c*α^3 + b*α^2 - 3c*α^2 + a*α -3b*α + α - 3a

(Most felhasználjuk, hogy α^3 + 3α + 1 = 0 (mert ugye ez a minimálpolinomja, ennek gyöke ez az α. Ezt az egyenlőséget átrendezzük: α^3 = -3α - 1 , ezt fogjuk behelyettesíteni a fenti hosszú egyenletbe az α^3 helyére, így csak másodfokú lesz az α-ra nézve:)

0=b*α^2 - 3c*α^2 + a*α - 3b*α + α - 3c*α - 3a -c

Nomármost az α^2, az α együtthatója és a konstans tag is egyaránt 0 kell legyen, azaz:

b-3c=0

a-3b+1-3c=0

-3a-c=0

Ebből jön az, amit adott a könyv, remélem semmit nem írtam el.

Jó bogarászást!