Valaki megmondana hogy kell meghatarozni a haromszog kore irhato kor koordinatait ha ismerjuk a harom csucsnak a koordinatait?

Kétféleképpen is lehet:

- két pontból meghatározod a szakaszfelező egyenes egyenletét, másik két pontból a másikat, és ahol a két egyenes metszi egymást, ott a középpont. Vagyis meg kell oldani a két egyenletből álló egyenletrendszert.

- Mindhárom pontra felírod ezt az egyenletet:

(x-px)² + (y-py)² = r²

ahol px és py a pont koordinátái.

Így lesz 3 egyenleted és 3 ismeretlened: x, y, r.

És meg kell oldani az egyenletrendszert.

Az utóbbi egyenleteket könnyebb felírni, de az első módszer szerinti egyenletrendszert a könnyebb megoldani.

Két pont felezőpontjának koordinátái:

Fx=(x₁+x₂)/2 és Fy=(y₁+y₂)/2

Két pont közötti irányvektor:

(x₂−x₁; y₂−y₁)

A két pont felező merőlegesének a normálvektora megegyezik az előző irányvektorral.

Ha van egy pont (felezőpont, F=(Fx;Fy)) meg a normálvektor [n=(nx;ny)], akkor a felező-merőleges egyenlete:

nx·x + ny·y = nx·Fx + ny·Fy

Az AB szakaszfelező merőlegesének az egyenlete:

A = (4;2)

B = (-3;1)

F = (A+B)/2 = ((4+(-3))/2; (2+1)/2) = (1/2; 3/2)

n = (A-B) = (4-(-3); 2-1) = (7; 1)

7x + y = 7·1/2 + 1·3/2 = 5

y = 5 - 7x

Az AC szakaszfelező merőlegesének az egyenlete:

A = (4;2)

C = (4;-3)

F = (A+C)/2 = ((4+4)/2; (2+(-3))/2) = (4; -1/2)

n = A-C = (4-4; 2-(-3)) = (0; 5)

0x + 5y = 0·4 + 5·(-1/2) = -5/2

y = -1/2

A két egyenes metszéspontja lesz a kör középpontja. Vagyis meg kell oldani ezt az egyenletrendszert:

y = 5 - 7x

y = -1/2

--

7x = 5+1/2 = 11/2

x = 11/14

y = -1/2

A kör középpontja tehát a (11/14; -1/2) pont.

----------------

Másik módszer:

A kör egyenlete: (x-x₀)² + (y-y₀)² = r²

Ez mindhárom pontra igaz:

A(4;2) → (4-x₀)²+(2-y₀)²=r²

B(-3;1) → (-3-x₀)²+(1-y₀)²=r²

C(4;-3) → (4-x₀)²+(-3-y₀)²=r²

Ezt az egyenletrendszert kell megoldani.

(Az előbb nehezebb volt felírni az egyenletrendszert, de a megoldása nagyon egyszerű volt. Most felírni volt egyszerű, de a megoldása bonyolultabb.)

x₀ meg y₀ helyett simán x meg y-t írok, ne kelljen a nullákkal szenvedni. Az (x;y) pont lesz a kör középpontja.

(4-x)² + (2-y)² = r²

(-3-x)² + (1-y)² = r²

(4-x)² + (-3-y)² = r²

---

(4-x)² + (2-y)² = (4-x)² + (-3-y)²

(-3-x)² + (1-y)² = (4-x)² + (-3-y)²

---

Az első egyenletből:

(2-y)² = (-3-y)²

4-4y+y² = 9+6y+y²

10y = -5

y = -1/2

--

A második egyenletből:

(-3-x)² + (1-(-1/2))² = (4-x)² + (-3-(-1/2))²

(-3-x)² + (3/2)² = (4-x)² + (-5/2)²

9+6x+x² + 9/4 = 16-8x+x² + 25/4

14x = 16+4-9 = 11

x = 11/14

Tehát a középpont (11/14; -1/2)

A sugár bármelyik egyeneltből:

(4-x)² + (2-y)² = r²

r² = (4-11/14)² + (2-(-1/2))²

r² = (45/14)² + (5/4)² = 11,89

r = 3,45