Egy bizonyítás és egy feladat, tudnátok segíteni?

Tudjuk, hogy így kell a logaritmus alapjai között váltani:

log_a(b) = log_c(b)/log_c(a)

vagyis

log_7(5) = log_3(5)/log_3(7) = log_3(5)/m

már csak log_3(5) a kérdéses.

Egyik megoldás:

Tudjuk, hogy log_9(25) = n

vagyis 9^n = 25

(3²)^n = (3^n)² = 5²

3^n = 5

Ennek vegyuk a 3-as logarimusát:

n = log_3(5)

Vagy máshogy (megint a legfelső képlet szerint):

n = log_9(25) = log_3(25)/log_3(9)

n = log_3(5²)/log_3(3²)

n = 2·log_3(5)/2

n = log_3(5)

Szóval log_7(5) = n/m

108 = 2²·3³

375 = 3·5³

ezért

log_3(108) = log_3(2²) + log_3(3³) = log_3(4) + 3

log_5(375) = log_5(3) + log_5(5²) = log_5(3) + 3

vagyis igazolni kell, hogy

log_3(4) > log_5(3)

Ez pedig igaz, mert log_3(4) nagyobb 1-nél (hisz 4>3), log_5(3) pedig kisebb 1-nél (hisz 3<5).