Mennyivel emelkedik a víz felszíne, ha egy tégla alakú edénybe-amely alap élei 16 és 12 cm -egy 5,4 cm átmérőjű, a vízbe teljesen alámerülő golyót ejtünk?

A golyó térfogata V = 4r³π/3

r = 2,7 cm

V = 4·2,7³·3,14/3 cm³

V = ... számold ki

Mivel teljesen belemerül a vízbe, ugyanennyi térfogattal nő a víz látszólagos térfogata. Az edény alapterülete:

A = 16cm·12cm = 192 cm²

Ha x cm magasan emelkedik meg a vízszint, akkor az ekkora térfogatnak számít:

V = A·x = 192·x cm³

Ez a térfogat pont annyi kell legyen, mint a gömb térfogata, amit fentebb számoltunk ki. x ezekből kiszámolható:

x = .../192

(A ... az, amit fentebb ki kellett számolj.)

Még ezeket is kérdezted magánban:

1,

Egy gömböt két párhuzamos,egymástól 6 cm távolságra lévő sík metsz.A síkmetszetek sugara 24, illetve 32 cm.Mekkora a gömb sugara?

2,

Egy 50cm hosszú,8mm falvastagságú és 30 mm belső átmérőjű ólomcsövet beolvasztanak,és 1,5 cm átmerőjű golyókat öntenek belöle. Hány golyót kapnak,ha a folyamat során 5 % a veszteség?

Azt írtad, az egész osztálynak nem megy, úgyhogy itt válaszolok, nem magánban.

1)

Ezt most utólag írom ide, miután leírtam ezt az egész megoldást itt alul: Kijött az eredmény, de a másik két feladathoz képest ezt sokkal nehezebbnek érzem, legalábbis ezzel a megoldással. Valószínű tanultatok valamilyen más dolgot, aminek a segítségével gyorsabban meg lehetne oldani. Mindegy, most már elküldöm ezt is, olvasd végig, ebből is lehet tanulni. Mindenesetre keresek valamilyen egyszerűbb megoldást is.

---

Ha egy sík átmegy egy gömbön (metszi), akkor a metszet egy kör lesz.

Képzeld el, hogy egy almát egy késsel kettévágsz akárhol. (Nem csak a közepen 2 egyforma félbe, hanem mondjuk bárhol levágod egy kis részét.) A kés egy síkban megy, ami a metsző síknak felel meg.

A kimetszett kör középpontját ha összekötjük a gömb középpontjával, megkapjuk azt a távolságot, amilyen messze a metsző sík van a gömb közepétől. Nézd ezen a képen, ez az x távolság:

[link]

Tudjuk a kör sugarát (r). Ha tudnánk a gömb sugarát (R), akkor x kijönne Pitagorasz tételével:

R² = r² + x²

vagyis

x² = R² - r²

Most két síkunk (körünk) is van. Az ábrába beleképzelve a másikat, ami párhuzamos az elsővel, látszik, hogy a nagyobb sugarú kör közelebb kell legyen a gömb középpontjához. Lehet az alsó félgömbön is, vagy azzal szimmetrikusan ugyanolyan távolságra felül is.

r1 = 24 [a kisebb kör sugara (mondjuk ez van az ábrán)]

r2 = 32 [a nagyobb kör sugara]

d = 6 [a síkok távolsága]

x1 legyen az r1 kör távolsága a gömb középpontjától

x2 pedig az r2 kör távolsága.

Tudjuk tehát, hogy x2 < x1

Mind a két x pozitív.

Érdemes csinálni ilyen rajzot vagy rajzokat, ahol látszik a másik kör is, egyrészt alul, másrészt felül. És persze írd oda, hogy melyik az x1 meg az x2, r1 meg az r2.

Ha az alsó félben van a nagyobbik sugarú (r2) is, akkor az x-ekre ez írható fel:

x1 - x2 = d → x1 = d + x2

Ha pedig a nagyobbik felül van, akkor:

x1 + x2 = d → x1 = d - x2

Vagyis most két feladatot is meg kell oldani:

a) Alul van mindkettő:

(d+x2)² = R² - r1²

x2² = R² - r2²

---

(ez után az egyszerűség kedvéért x-nek hívom x2-t)

(6+x)² = R² - 24²

x² = R² - 32²

Ebből először x-et könnyű kiszámolni, és ha az meglesz, jöhet R (ami a kérdés). Vonjuk ki a két egyenletet egymásból, így kiesik az R²:

(6+x)² - x² = 32² - 24²

36+12x+x² - x² = (32-24)(32+24)

(ezt a szorzattá alakítást a jobb oldalon csak azért csináltam, hogy ne kelljen olyan nagy számokkal számolni. Persze ha nem jut eszedbe ilyen, akkor a számológéppel direktben is mehet a számolás)

36+12x = 8·56 = 448

12x = 412

x = 103/3

és most R:

R² = x² + 32²

R² = 2202,78

R = 46,93

b) A nagyobbik kör felül van:

(d−x2)² = R² - r1²

x2² = R² - r2²

---

(megint csak x-et írok ez után)

Vonjuk ki egymásból őket:

(6−x)² - x² = 32² - 24²

36 - 12x + x² - x² = 448

−12x = 412

Ebből negatív x jönne ki, az nem jó, tehát ez nem megoldás.

Szóval marad az R=46,93 cm az egyetlen megoldás.

Eddig nem találtam egyszerűbb megoldást az elsőre...

2) Egy 50cm hosszú,8mm falvastagságú és 30 mm belső átmérőjű ólomcsövet beolvasztanak,és 1,5 cm átmerőjű golyókat öntenek belöle. Hány golyót kapnak,ha a folyamat során 5 % a veszteség?

Az ólomcső úgy képzelhető el, mint egy kör alapú henger, amiből egy kisebb kör alapú henger ki van hagyva.

Képletek: A henger alapjának a területe r²π, az m magas henger térfogata m·r²π.

Kívülről 30+2·8 mm, vagyis 4,6 cm a keresztmetszete, vagyis a felszín:

F1 = 4,6²·π cm²

Belül pedig:

F1 = 3²π cm²

Az ólom-rész felülete tehát:

F = F2-F1 = (4,6²-3²)·π cm²

Az ólom térfogata felület szorozva hosszúság (m=50 cm)

V = 50·(4,6²-3²)·π cm³

Beolvasztás során veszteség lesz (eltűnik valamennyi ólom), a maradék hasznos térfogat az eredeti 95%-a:

Vh = V·95/100

Ezt eddig mindet ki lehet számolni, számold is ki.

Aztán golyókat öntenek belőle. Egy golyó térfogata:

Vg = 4r³π/3

ahol r=1,5 cm

Ezt is számold ki.

A golyók össz-térfogata megegyezik a hasznos ólomtérfogattal:

Vg·n = Vh

n = Vh/Vg

ez lett a golyók darabszáma.