EMELT MATEK: igazolja, hogy a háromszög bármely belső szögfelezője kisebb, mint a szöget bezáró oldalak mértani közepe?

Egy unortodox megoldás. :-)

Legyen

a, b, c - a háromszög oldalai

f - egy szögfelező hossza

Valamely belső szögfelező hossza a következő képlettel számolható:

f(i) = g(i)√(1 - λ(i)²)

ahol

f - a szögfelező hossza

g - a szögfelezőt közrefogó két oldal mértani közepe

λ - a szögfelező osztó tényezője

i € (a, b, c)

A szögfelező képletéből

f/g = √(1 - λ²)

ami mindig kisebb 1-nél, vagyis

f < g

====

A képlet magyarázatához (használatához) egy példa.

Egy háromszög 'a' oldalához tartozó szögfelező esetén

fa = g(a)√(1 - λ(a)²)

ahol

g(a) = G(b,c) = √(b*c)

λ(a) = a/(b + c)

Kicsit bővebben ezen az ábrán

[link]

Biztos van ennél "matematikusabb" megoldás is, számomra ez a módszer teljesen kielégítő. :-))

DeeDee

**********

Számítottam a kérdésre. :-)

Innen indult ki minden:

[link]

Korábban egy szögfelezős feladathoz kerestem anyagot a neten, így találtam meg a fenti oldalt.

A megoldás elve és a levezetés világos, de nehézkesnek találtam a levezetést és túl randának a végeredményt. :-)

Ezért a megoldás képletét kicsit átalakítottam.

Ha a szögletes zárójelben kiemelsz (a + b)²-et, akkor a következő lesz:

ab(a + b)²{[1 - [c/(a + b)]²}

A

c/(a + b) = λ(c)

helyettesítéssel a számláló

ab(a + b)²(1 - λ(c)²)

Ha ebből gyököt vonok (az egész gyök alatt van), akkor a számláló

√(ab)(a + b)*√(1 - λ(c)²)

Mivel a nevező (a + b), ezért a képlet átalakított formája

fc = √(ab)√(1 - λ(c)²)

Ha az egyszerűség és az egységesítés érdekében bevezetem a

√(ab) = g(c)

jelölést, akkor a végleges forma

fc = g(c)√(1 - λ(c)²)

===============

A zárójelbe tett oldalak alsó indexként értendők.

Az előző válaszomban megadott linken megtalálható a 'g' és 'λ' értékek értelmezése, így egy könnyen megjegyezhető és könnyen kezelhető rendszerbe van összefogva a szögfelezők számítása.

Szerintem három oldal ismeretében ezzel a formával egyszerűbb kiszámolni bármelyik szögfelező hosszát.

De ízlések és pofonok... :-)

A fentebb nehézkesnek titulált levezetés helyett szerintem egyszerűbben és átláthatóbban lehet célt érni, ha az előző válaszbeli linken található oldal alján található szögfelező képletből indulok ki.

A képlet

f(a) = H(b,c)*cosα

ill.

f(a) = [2bc/(b + c)]*cosα

A 2α szöget a koszinusz tételből kifejezve és behelyettesítve a képletbe kevesebb lépéssel lehet eljutni a fentebbi képlethez.

Egyébként a gyakorlatban kiderült, hogy sok helyen előnyösen lehet alkalmazni a 'λ' tényezőt, nemcsak a szögfelező számításakor. Eddig még sehol nem találkoztam ezzel a módszerrel, nekem minden esetre bevált és ha lehetőség van rá, alkalmazom is.

Remélem érthető, mit követtem el, ha nem lehet kérdezni. :-)

DeeDee

**********