Matematika feladat (? )

A másodiknál eléggé adja magát, hogy egye teleszkopikus összeget kell képeznünk.

(i+1)-(i) az pont 1, ez pedig [gyök(i+1)]^2 - [gyök(i)]^2, amiről ismert, hogy [gyök(i+1)+gyök(i)]*[gyök(i+1)-gyök(i)].

Tehát az általános tag 1/[gyök(i+1)+gyök(i)] az egyenlő {[gyök(i+1)+gyök(i)]*[gyök(i+1)-gyök(i)]}

/[gyök(i+1)+gyök(i)]

Egyszerűsíthetünk [gyök(i+1)+gyök(i)]-vel, marad gyök(i+1)-gyök(i)

Ez pont egy teleszkopikus összeg, tehát gyök(2011+1)-gyök(1)-vel egyenlő ha összeadjuk i=1-től 2011-ig. (Hisz [gyök(2)-gyök(1)] + [gyök(3) - gyök(2)] +... . Jól látszik, hogy a negatív tag az kinullázza magát a következő pozitív tagjával, tehát csak az utolsónak a pozitív tagjának és az elsőnek a negatív tagjának nem lesz párja)

Tehát gyök(2012)-1 a B.

A-nál.

Legyen a=gyök(2012)

Akkor értékeljük ki a zárójelben lévő értéket, ami:

[a+1 / a-1] - [a-1 / a+1]

Hozzuk közös nevezőre őket:

[(a+1)^2 / (a+1)(a-1)] - [(a-1)^2 / (a-1)(a+1)]

Amiugye (a+1)^2-(a-1)^2 / (a-1)(a+1)

(a-1)(a+1) = a^2 - 1

(a+1)^2=a^2 + 2a + 1

-(a-1)^2 = -a^2 + 2a -1

Tehát a zárójelben 4a / a^2 - 1 van, visszahelyettesítve ez

4gyök(2012) / 2011

Ez még be van szorozva 2011/4-vel, tehát A=gyök(2012)

gyök(2012) meg nyilván nagyobb gyök(2012)-1-nél, azaz A > B.

Szumma i=1, 2011 (1/[gyök(i)+gyök(i+1)]) azt jelenti, hogy 1-től 2011-ig, minden számot behelyettesítunk az adott képletbe és ezen most 2011 szém összegét vesszük.

Pl így is fel lehetne írni:

1/gyök(1)+gyök(2) + 1/gyök(2)+gyök(3) +

1/gyök(3)+gyök(4) + .... + 1/gyök(2010)+gyök(2011) + 1/gyök(2011)+gyök(2012)