Függvények folytonossága?

f(x) = x·sin(1/x), f(0) = 0

A definíció szerint ennek a határértéknek kellene léteznie (x→0) :

lim (f(x)−f(0))/(x−0) = lim f(x)/x = lim sin(1/x) = A

vagyis minden ε-hoz van olyan δ, hogy:

ha |x| < δ

akkor |sin(1/x) − A| < ε

sin(1/x) viszont ±1 között bármilyen értéket felvesz, ahogy csökken az x, tehát nincs A sem, amihez kicsi ε-okhoz lehetne δ-t találni, hogy minden x<δ esetén igaz legyen.

x²·sin(1/x) esetén az f(x)-f(0)/x-0 differenciahányados x·sin(1/x) lesz, annak viszont 0 a határértéke 0-ban, mert |x·sin(1/x)| < |x|, ezért bármilyen kicsi ε-hoz találunk δ-t (pl. δ=ε).

Tehát deriválható 0-ban is, a deriváltja 0. Viszont mondjuk kicsi x értéknél a derivált így alakul:

(Elvileg megint limeszelni kellene, de úgy bonyolult, inkább a szorzat szabályt használom):

(x²·sin(1/x)' = 2x·sin(1/x) − cos(1/x)

Ez a derivált pedig ha |x| kicsi, ±1 között mindenféle értéket felvehet (1-nel kicsit többet is, meg −1-nél kicsit kisebbet is, de ez most érdektelen). Az első tag határértéke x→0 esetén 0, a második viszont marad −cos(1/x), aminek nincs határértéke. Vagyis a deriváltnak nincs határértéke 0-ban. Értéke van, de határértéke nincs, vagyis nem folytonos.