Milyen összefüggés van egy téglalap hosszúsága és szélessége között, ha a belső szögfelezők által meghatározott négyszög területe a téglalap területének egynegyede?

Ha jól felrajzolod, látszik, hogy a szögfelezők minden esetben négyzetet zárnak közre. A szögfelezők többek között néhány egyenlő szárú derékszögű háromszöget is körvonalaznak. ezek alapján:

A téglalap oldalait a-val és b-vel jelölve (a>b), a négyzet oldala a*gyök(2)/2-b*gyök(2)/2=(a-b)*gyök(2)/2.

A négyzet területe: (a-b)^2*1/2.

Ez egyenlő a téglalap területének negyedével, ami ab/4.

Ezt egyenletben felírva:

(a-b)^2*1/2=ab/4

4-gyel szorozva:

2(a-b)^2=ab

Ez már egy összefüggés, de tovább farigcsálható, pl. a két oldal aránya egy másodfokú egyenlettel megkereshető:

2a^2-4ab+2b^2=ab

2a^2-5ab+2b^2=0

Ezt elosztjuk b^2-tel, ekkor (a/b)-re nézve másodfokú az egyenlet. Ennek megoldásai: 2 és 0,5.

Ez esetben a>b, azaz a 2 a jó.

Így a=2b a legrövidebb válasz.

(A konkrét rajzon ez esetben nagyon szépen látszik a negyednyi terület!)